ポートフォリオ最適化問題
( ChatGPT-4 による説明を更新したものです。)
ポートフォリオ最適化：数理最適化モデル
目次
1. ポートフォリオ理論の概要
2. ポートフォリオ最適化問題の定義
3. ポートフォリオのリスクとリターン
4. 数理最適化モデルの適用
5. ポートフォリオ最適化の例
6. 要約と結論
7. 参考文献
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1. ポートフォリオ理論の概要
- ハリー・マークウィッツのモダンポートフォリオ理論（MPT）の紹介。
ハリー・マークウィッツが提案した投資理論。
投資家は期待リターンを最大化し、リスク（分散）を最小化するポートフォリオを選択するという前提。
- リスク（分散）とリターン（期待収益）のトレードオフ。
各投資の期待リターン（$ E[R_i]）とその投資に割り当てる比率（$w_i$）を用いて、ポートフォリオ全体の期待リターン（$ E[R]）を計算します。
$ E[R] $ = \sum_{i=1}^{n} w_i E[R_i]
- 各投資の分散（$ \sigma_i^2）とその投資に割り当てる比率（$ w_i）、投資間の共分散（$ Cov[R_i, R_j]）を用いて、ポートフォリオ全体のリスク（分散、$ \sigma_p^2 ）を計算します。
$ \sigma_p^2 = \sum_{i=1}^{n} w_i^2 \sigma_i^2 + \sum_{i=1}^{n}\sum_{j \neq i}^{n} w_i w_j Cov[R_i, R_j]
- ポートフォリオを最適化することでリスクを分散させ、最大のリターンを達成する。
2. ポートフォリオ最適化問題の定義
- 投資の選択：選択肢（例：株、債券）。
- リターン：各投資の期待収益。
- リスク：各投資の分散または標準偏差。
- 目的関数：ポートフォリオの期待リターンを最大化、またはリスクを最小化。
3. 数理最適化モデルの適用
目的関数
$ \min \sigma_p^2
制約条件:
$ E[R] $ \geq R_{target}
$ \sum_{i=1}^{n} w_i = 1 and $ w_i \geq 0
ここで，$ R_{target}は最低限実現したい収益率を表します。
モデリングパッケージであるcvxpyを使うと，ポートフォリオ最適化問題の数理最適化モデルを簡単に実現できます。
CvxpyのExamplesのページにあるPortfolio Optimizationに，このための方法が書かれています。
code:python
# Generate data for long only portfolio optimization.
import numpy as np
import scipy.sparse as sp
np.random.seed(1)
n = 10
mu = np.abs(np.random.randn(n, 1))
Sigma = np.random.randn(n, n)
Sigma = Sigma.T.dot(Sigma)
# Long only portfolio optimization.
import cvxpy as cp
w = cp.Variable(n)
gamma = cp.Parameter(nonneg=True)
ret = mu.T @ w
risk = cp.quad_form(w, Sigma)
こうして定義した問題を解いて，得られた答えをプロットすると，下記のような表示が得られます。この図は，Exampleを実行して得られるものを引用しました。
https://gyazo.com/851c100cf354289a463e933ed60c690d