輸送ポリトープ
ヒストグラムや輸送計画のこと.
確率的に解釈すると, 結合確率分布として捉えられる
定義: $ U(r,c) \stackrel{\mathrm{def}}{=} \{P \in {\R^{d\times{d}}_+ | P1_d=r, P^T1_d = c}\},
>ここもP1_dなど後で確認したい
simplexも参照
輸送行列を求める際, 多面体が線形計画法の理論に基づいて解けることに意味がある
ポリトープにおいて, 単体$ \Sigma_d (要素の値が0以上) やr, cのエントロピーの制約が線形計画法に用いられる
$ U(r, c)は確率論的に解釈できる
$ \{1, ..., d\}のいずれかの値を取る$ X, Yを考える
$ Xの確率分布が$ r(列和) , $ Yの確率分布が$ c (行和) に相当
行列の各要素$ p_{ij}はX=i, Y=jの同時確率$ p(X=i, Y=j)=p_{ij}を表す
行列の各要素は同時確率と見做せるが, この行列$ Pを分割表（Contingency Table）という
クロステーブル, クロス集計表のこと. 中身を実数から確率に変えれば確率論の話になる
同時確率を片方の変数について和を取ると, もう片方の変数の確率 (周辺確率) に戻る性質がある
$ P(X) = \sum_{Y} P(X, Y)
片側の変数の影響を消し去れる
行と列がある時, 行について注目したいとする. この時, 列について和を取れば純粋に行だけが異なる確率が残る. これは列の影響を排除したと言える
#2026/7/5