ローレンツモデル
次元を一つ下げた表現を行っている点に注意が必要である．
$ \mathbb{R}^{n+1}内の２つの双曲面の上半分に$ n次元の双曲空間を表現する．
$ n=2の場合，図1と同じ
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「平面」として見ると，2つの線は必ず平行でない = 歪んだ空間(非ユークリッド)
もともとの双曲面があった空間から見ると，上下の概念がある
Foundations of Hyperbolic Manifolds
The inner product space consisting of Rn together with this new inner
product is also called Lorentzian n-space but is denoted by Rn−1,1. For
example, in the theory of special relativity, R3,1 is a model for space-time
定義
ユークリッド内積を$ \lang\cdot,\cdot\rang，ローレンツ内積を$ \lang\cdot, \cdot\rang_{\mathcal{L}}とする． Minkowski空間の特殊な場合として知られる．内積の符号が$ (-,+,+,...,+)となるようなミンコフスキー空間であり，これは特殊相対性理論に基づく時空を表現する枠組みとして用いられる． ローレンツ内積は，ローレンツモデルのリーマン計量によって導かれ，$ \bm{x}, \bm{y}\in\mathbb{R}^{n+1}に対して，以下のように計算される． $ \lang\bm{x},\bm{y}\rang_{\mathcal{L}}=\lang\bm{x_{\text{space}}},\bm{y}_{\text{space}}\rang-x_{\text{time}}y_{\text{time}}
これによって導かれるローレンツノルム（双曲空間上での原点からの距離）は$ \lVert \bm{x}\rVert_{\mathcal{L}}=\sqrt{|\lang\bm{x},\bm{x}\rang_{\mathcal{L}}|}
定数の曲率$ -cを持つローレンツモデルは，以下のベクトルの集合として定義される．
このベクトルは，
$ L_n=\{\bm{x}\in\mathbb{R}^{n+1}:\lang\bm{x},\bm{x}\rang_{\mathcal{L}}=-\frac{1}{c}, c>0\}
この集合に含まれる任意のベクトルは，次の制約を満たしている．
$ x_{\text{time}}=\sqrt{\frac{1}{c}+\|x_{\text{space}}\|^2}
時間成分が正であるという制約
測地線(geodesics)
多様体上の2点間の最短経路である．
双曲面と$ \mathbb{R}^{n+1}の原点を通る超平面の交差によって形成される曲線となる．
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Lorentz n次元空間であり，
このような空間の2点間の距離は，以下の形で表現されることが知られている．
$ d_{\mathcal{L}}(\bm{x},\bm{y})=\sqrt{-\frac{1}{c}}\cdot\cosh^{-1}(-c\lang\bm{x},\bm{y}\rang_{\mathcal{L}})
ローレンツモデルを満たす点集合に対し，距離の公理を満たすように定めると上記に一意に定まることが知られている．
証明は(John+, 2006)のp.65を参照
接空間
ある点$ z\in L_nにおける接空間は，ローレンツ内積によって$ zに直行するベクトルのユークリッド空間である
$ T_zL_n=\{v\in\mathbb{R}^{n+1}:\lang z, v\rang_{\mathcal{L}}=0\}
内積が0となるようなベクトルの集合，
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$ L_n=\mathcal{M}として表されている．
$ \bm{x}は$ \mathcal{x}上に存在する．
接平面への投影は，以下の式で表される．
$ \bm{v}= \text{proj}_\bm{z}(\bm{u})=\bm{u}+c\bm{z}\lang \bm{z}, \bm{u}\rang_{\mathcal{L}}
$ uは入力（多様体と同じ座標空間にある，すなわちユークリッド空間）で，この方向の接平面のベクトルを得る公式（射影ベクトルの公式），この時点での出力はまだユークリッド空間
指数写像・対数写像
あるユークリッド空間上の点（接平面）$ \bm{v}\in\mathcal{T}_z\mathcal{L}^nと多様体（双曲面）$ \bm{x}\in\mathcal{L}^nとの間を相互に変換する
指数写像
$ \mathcal{T}_z\mathcal{L}^n \rightarrow\mathcal{L}^nへの写像
$ \bm{x} = \text{expm}_\bm{z}(\bm{v})=\cosh(\sqrt{c}\|\bm{v}\|_{\mathcal{L}})\bm{z}+\frac{\sinh(\sqrt{c}\|\bm{v}\|_{\mathcal{L}})}{(\sqrt{c}\|\bm{v}\|_{\mathcal{L}})}\bm{v}
証明は(Lee+, 2018を参照)，vはzに依存して決定される為，双曲面上の点のみの関数の形で表現できる．
対数写像
指数写像の逆変換，接平面への写像
$ \bm{v}=\text{logm}_\bm{z}(\bm{x})=\frac{\cosh^{-1}(-c\lang\bm{z},\bm{x}\rang_{\mathcal{L}})}{\sqrt{(c\lang\bm{z},\bm{x}\rang_{\mathcal{L}})^2-1}}\text{proj}_\bm{z}(\bm{x})