上級ミクロ経済学 4 章 情報不完備ゲーム

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前提知識：条件付き確率

$ P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

例

$ p(0, 0) = 0.1

$ p(0, 1) = 0.2

$ p(1, 0) = 0.3

$ p(1, 1) = 0.4

$ p(0 \mid 0) = \frac{P(x = 0, y = 0)}{P(y = 0)} = \frac{0.1}{0.1 + 0.3} = \frac{1}{4}

$ p(0 \mid 1) = \frac{P(x = 0, y = 1)}{P(y = 1)} = \frac{0.2}{0.2 + 0.4} = \frac{1}{3}

などとなる。

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前提知識：ベイズの定理

$ P(B_i \mid A) = \frac{P(B_i \cap A)}{P(A)} = \frac{P(A \cap B_i)}{P(A)} = \frac{P(A \cap B_i)}{\sum_{i = 1}^n{P(A \cap B_i)}} = \frac{P(A \mid B_i) P(B_i)}{\sum_{i = 1}^n{P(A \mid B_i) P(B_i)}}

によって与えられる。

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情報不完備ゲーム

ルールが全てのプレイヤーの共通知識でないゲーム

ここでは、あるプレイヤーが他のプレイヤーの利得についてよくわからないゲームを考える

利得が、プレイヤーの行動だけでなく、タイプ（属性）にも依存する

タイプの例：個人の性格、能力、選好、企業の費用関数

あるプレイヤーが他のプレイヤーのタイプを観察できない

定義

$ G^* = (N, \{ S_i, C_i, f_i, p_i \}_{i \in N})

つまり、全てのプレイヤーの主観的予想が共通の情報に基づいている。

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ベイジアン・ゲーム

ベイジアン・ゲームは以下の順序でプレイされる。

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ベイジアン均衡

情報不完備ゲームにおけるベイジアン均衡

$ E f_i(\pi^* \mid c_i) \geq E f_i(\pi_i, \pi_{-i}^* \mid c_i) ~ \forall{\pi_i}

が成り立つことである。

$ E f_i(\pi \mid c_i) = \sum_{j \neq i}{\sum_{c_j \in C_j}{f_i(\pi_1(c_1), \ldots, \pi_n(c_n), c) p_i(c_{-i} \mid c_i)}}

と定義される。

ベイジアン・ゲームにおける均衡

$ E f_i(\pi^*) \geq E f_i(\pi_i, \pi_{-i}^*) ~ \forall{\pi_i}

が成り立つことである。

$ E f_i(\pi) = \sum_{j = 1}^n{\sum_{c_j \in C_j}{f_i(\pi_1(c_1), \ldots, \pi_n(c_n), c) p(c)}}

と定義される。

定理

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例：「男女の争い」のベイジアン・ゲーム

プレイヤー：男性（プレイヤー 1）、女性（プレイヤー 2）

タイプ：野球の方が好き（タイプ 1）、バレエの方が好き（タイプ 2）

男女のタイプの組み合わせは 4 種類考えられる。

https://gyazo.com/3cb3efd34e3b93acc9b3bb88bb4572a6

プレイヤーの相手に対する予想として、

このゲームを展開形で表すと、以下のようになる。

https://gyazo.com/7aa7ba047501d759ce7b2b4ae4db86dc

両プレイヤーとも、2 つの情報集合をもつので、4 通りの純戦略が存在する。

ゲームを標準化すると、利得行列は以下のようになり、均衡は

$ (\alpha \alpha, \alpha \alpha), ~ (\beta \beta, \beta \beta), ~ (\alpha \beta, \beta \alpha), ~ (\beta \alpha, \alpha \beta)

の 4 通りある。

https://gyazo.com/83bcb68c6b5e173c9e19246b9d765453

$ E f_1(\alpha \beta, \alpha \alpha) = f_1(\alpha, \alpha, 1, 1) p_{11} + f_1(\alpha, \alpha, 1, 2) p_{12} + f_1(\beta, \alpha, 2, 1) p_{21} + f_1(\beta, \alpha, 2, 2) p_{22}

$ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ = 2 \cdot \frac{1}{8} + 2 \cdot \frac{3}{8} + 0 \cdot \frac{3}{8} + 0 \cdot \frac{1}{8} = \frac{8}{8} = 1

$ E f_2(\alpha \beta, \alpha \alpha) = f_2(\alpha, \alpha, 1, 1) p_{11} + f_2(\alpha, \alpha, 1, 2) p_{12} + f_2(\beta, \alpha, 2, 1) p_{21} + f_2(\beta, \alpha, 2, 2) p_{22}

$ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ = 2 \cdot \frac{1}{8} + 1 \cdot \frac{3}{8} + 0 \cdot \frac{3}{8} + 0 \cdot \frac{1}{8} = \frac{5}{8}

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完全ベイジアン均衡

部分ゲーム完全均衡の考え方（信頼性のない脅しを排除）をベイジアン・ゲームに拡張する。

(1) プレイヤーの信念は戦略と整合的である。つまり到達可能な情報集合において、信念は戦略からベイズの定理によって導かれるものと一致する。

(2) 戦略は信念および他のプレイヤーの戦略から計算される最適反応になっている。

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例：女性先手の「男女の争い」のベイジアン・ゲーム

プレイヤー：女性（プレイヤー 1）、男性（プレイヤー 2）

仮定：

女性が先に行動をとり、男性はそれを観察して行動を決める

https://gyazo.com/6bca21468ebd31508d4e4fb143cf5b6a

$ P(t_1 \mid u_{21}) = \frac{P(u_{21} \mid t_1) P(t_1)}{P(u_{21} \mid t_1) P(t_1) + P(u_{21} \mid t_2) P(t_2)} = \frac{b_{11} p}{b_{11} p + b_{12}(1 - p)}

$ P(t_2 \mid u_{21}) = \frac{P(u_{21} \mid t_2) P(t_2)}{P(u_{21} \mid t_1) P(t_1) + P(u_{21} \mid t_2) P(t_2)} = \frac{b_{12} (1 - p)}{b_{11} p + b_{12} (1 - p)}

$ P(t_1 \mid u_{22}) = \frac{(1 - b_{11})p}{(1 - b_{11})p + (1 - b_{12})(1 - p)}

$ P(t_2 \mid u_{22}) = \frac{(1 - b_{12})(1 - p)}{(1 - b_{11})p + (1 - b_{12})(1 - p)}

$ P(t_1 \mid u_{22}) = p

$ P(t_2 \mid u_{22}) = 1 - p

$ P(t_1 \mid u_{21}) = p

$ P(t_2 \mid u_{21}) = 1 - p

完全ベイジアン均衡の導出

以上より、完全ベイジアン均衡は、

2 人の戦略：

$ (b_{21}, b_{22}) = (1, 0)

$ (b_{11}, b_{12}) = (1, 0)

信念：

$ P(t_1 \mid u_{21}) = 1

$ P(t_2 \mid u_{21}) = 0

$ P(t_1 \mid u_{22}) = 0

$ P(t_2 \mid u_{22}) = 1

の組み合わせであり、他には存在しない。

一方、このゲームのベイジアン均衡としては、

https://gyazo.com/996ff1500ff5e07611db9f3d3db8d3ac

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シグナリング

以下では、雇用契約に関するゲームを記述し、その完全ベイジアン均衡を求めることによってシグナリングの機能を見ていく。

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雇用ゲーム

プレイヤー：個人（プレイヤー 1）、経営者（プレイヤー 2）

行動：

タイプ：

仮定：

個人のタイプは経営者にはわからないが、資格をとっているかどうかは観察できる

利得に関する仮定：

雇用が起きない場合は、両プレイヤーともに利得は発生しない

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雇用ゲーム（経営者が資格取得を観察できない場合）

雇用ゲームの解を求める前に、経営者が個人の行動を観察せずに雇用するかどうかを決定するゲームの解を検討する。

（誰も資格を取得せず、雇用されない）

完全ベイジアン均衡は、

個人の戦略：

$ b_{11} = b_{12} = 0

経営者の戦略：

$ b_{21} = 0

信念：

$ P(O_4) = P(O_6) = 0

$ P(O_5) = 1/3

$ P(O_7) = 2/3

https://gyazo.com/270e847a6284a66a4e851e210a9c7bab

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雇用ゲーム（経営者が資格取得を観察できる場合）

https://gyazo.com/1bc2608f868f17a4c078b06ddebd9b2f

$ P(H \mid u_{21}) = \frac{P(u_{21} \mid H) P(H)}{P(u_{21} \mid H) P(H) + P(u_{21} \mid L) P(L)} = \frac{b_{11} \cdot 1/3}{b_{11} \cdot 1/3 + b_{12} \cdot 2/3} = \frac{b_{11}}{b_{11} + 2 b_{12}}

$ P(L \mid u_{21}) = \frac{P(u_{21} \mid L) P(L)}{P(u_{21} \mid H) P(H) + P(u_{21} \mid L) P(L)} = \frac{b_{12} \cdot 2/3}{b_{11} \cdot 1/3 + b_{12} \cdot 2/3} = \frac{2 b_{12}}{b_{11} + 2 b_{12}}

$ P(H \mid u_{22}) = \frac{1 - b_{11}}{1 - b_{11} + 2(1 - b_{12})}

$ P(L \mid u_{22}) = \frac{2(1 - b_{12})}{1 - b_{11} + 2(1 - b_{12})}

$ P(H \mid u_{22}) = 1/3

$ P(L \mid u_{22}) = 2/3

$ P(H \mid u_{21}) = 1/3

$ P(L \mid u_{21}) = 2/3

経営者の合理的行動

経営者の期待利得：

$ 2P(H \mid u_{21}) - 1, 0

経営者の合理的行動：

経営者の期待利得：

$ 2P(H \mid u_{22}) - 1, 0

経営者の合理的行動：

個人の合理的行動

個人の期待利得：

$ 3b_{21} - 2, 3b_{22}

個人の合理的行動：

個人の期待利得：

$ 3b_{21} - 5, 3b_{22}

個人の合理的行動：

均衡の導出

経営者の信念は

$ P(H \mid u_{21}) = 1

$ P(H \mid u_{22}) = \frac{1 - b_{11}}{1 - b_{11} + 2(1 - b_{12})} = \frac{1 - b_{11}}{3 - b_{11}} < \frac{1}{2}

経営者の信念は

$ P(H \mid u_{21}) \in \lbrack 0, 1 \rbrack

$ P(H \mid u_{22}) = \frac{1 - b_{11}}{1 - b_{11} + 2(1 - b_{12})} = \frac{1}{3}

ここでさらに場合分けを行う。

以上の結果をまとめると、雇用ゲームの完全ベイジアン均衡は次の 2 つのパターンに分かれる。

分離均衡

個人の戦略：

$ (b_{11}, b_{12}) = (1, 0)

経営者の戦略：

$ (b_{21}, b_{22}) = (1, 0)

信念：

$ P(H \mid u_{21}) = 1

$ P(H \mid u_{22}) = 0

個人の戦略：

$ (b_{11}, b_{12}) = (0, 0)

経営者の戦略：

$ (b_{21}, b_{22}) = (0, 0)

信念：

$ P(H \mid u_{21}) < 1/2

$ P(H \mid u_{22}) = 1/3

個人の戦略：

$ (b_{11}, b_{12}) = (0, 0)

経営者の戦略：

$ b_{21} \leq 2/3, b_{22} = 0

信念：

$ P(H \mid u_{21}) = 1/2

$ P(H \mid u_{22}) = 1/3

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女性先手の男女の争いゲーム

経営者が資格取得を観察できる雇用ゲーム