数の文化第3回

MontyHallの問題

フィボナッチのうさぎ「第2章」

ピックの公式

S = I+B/2 -1

I

多角形の内部にある格子点の個数

内点の数

B

辺上にある格子点の個数

境界点の数

格子多角形で成り立つ

面積の加法性

2つの領域を合わせて作った領域の面積は、それぞれの面積の和になる

領域の積集合が空集合である必要がありそう

ピックの公式が正しいならピック値も加法性を持つ

格子多角形P

ピックの公式

Pの面積=Pのピック値

ピック値の加法性

Pのピック値＝P1のピック値+P2のピック値

table:ピック値の加法性

P1 P2 P

内点 I1 I2 I=I1+I2+k

境界点 B1 B2 B=B1+B2-2k-2

ピック値 P1=I1+B1/2-1 P2=I2+B2/2-1 P=I+B/2-1=(I1+I2+k)+(B1+B2-2k-2)-1=(I1+B1/2-1)+(I2+B2/2-1)=P1+P2

kはP1とP2がくっついたときに境界が内点になった個数

B=B1+B2-2k-2 で-2をしているのはくっついたが、その後も境界になっている部分

今後の流れ

ピック値の加法性

格子多角形は格子三角形に分割できる

任意の格子三角形のピック値と面積が等しいことの証明