思考の論理入門の授業メモ4
前回の復習
1すべての人間は動物である
F(x):xは人間である
G(x):xは動物である
∀x(F(x)→G(x))
2哲学を学ぶ学生がいる
F(x):xは哲学を学ぶ
G(x):xは学生がいる
∃x(F(x)∧G(x))
A→B
Aも仮定してみる
(¬A∨B)∧A
(¬A∧A)∨(B∧A)
⊥∨(B∧A)
(B∧A)
へー、A∧Bになるんやな
∃x(F(x)→G(x)),∃xF(x)
これ哲学者がいないことを嫌がっているかと思ったけど、全称命題の時点で違うじゃん
∃x(F(x)⇄G(x))でいいのでは
p34
文と呼ぶと気持ち悪い場合がある
F,GからF∧G
これはいい
Fから∀xF
これは複合文っぽくない
これからは原子式、複合式と呼ぶ
定義p35
Lの語彙
項
個体定項
個体変項
原子式
述語記号が持つ変項の数だけが項が表示されているもの
例えば
2変数関数F(x,y)があったとして、変数が1つしか表示されていないF(t)は原子式ではない
的な感じかなik.icon
式
再帰的定義だねik.icon
帰納的定義と教科書で言っている
原子式は式
⊥は式
Aが式ならば¬A
A, Bが式ならばA∧B
A, Bが式ならばA∨B
A, Bが式ならばA→B
それ以外に式はない
A,Bはメタ変項
形式言語Lを説明するのに使われている変項
Aには具体的な式を代入できる
メタ変項は形式言語Lの語彙に含まれない
つまり証明するときにメタ変項は出てこない
なぜこのような明示化をするのか
意味がないのでは?
日本語を私たちが知っているからといって、日本語学が意味がないわけじゃない
p40
与えられた論証が妥当であることを示す方法
妥当な論証をすべて枚挙してしまう
妥当な論証は無限にあるので無理筋
妥当な論証が有限個しかない論理体系はあるのかなik.icon
妥当な論証のうち、有限個の論証を取り出す
それを規則として、他全ての妥当な論証を証明する
正しい足し算の規則をすべて暗記した訳ではない
有限個の規則とその使い方を学んだ
どういう場合に繰り上がるかみたいな話かik.icon
これちゃんと形式化できそうだけどめんどくさそう
形式化されてないやつを学んだとかいうんじゃない!!
ペアノの公理は有限個の規則ですべての足し算を定義している
a+0 = a
a+S(b) = S(a+b)
S(n)は後者関数
証明
複雑な論証を推論規則に基づき、単純な論証の組み合わせに置き換えていくこと
推論規則全体が確定しているとする
推論規則の3条件
推論規則は比較的簡単な構造の論証を許す
(のみを許すのかも)
推論規則は妥当である十分に納得できるもの
推論規則は使用できる範囲が定まっている
推論規則を使って、十分に広範な論証がカバーできる
教科書の後ろに規則がある
排中律じゃなくて、二重否定の除去を入れているんだ
→除去
∧導入
∧除去
P,P→Q,P→R⊢Q∧R
1 P 前提
2 P→Q 前提
3 P→R 前提
4 Q 1,2→除去
1,2に依存
5 R 1,3→除去
1,3に依存
6 Q∧R 4,5∧導入
4,5に依存