思考の論理入門の授業メモ3
原子文
複合文
論理結合子は統一されているわけではない
教科書によって違う場合がある
p24
4行目
以下は異なる文
¬F(a) ∨ (F(b)∧F(a) )
¬(F(a) ∨ (F(b)∧F(a)) )
以下も異なる文
¬F(a) ∨ (F(b)∧F(a) )
A ∨ B
(¬F(a)∨F(b)) ∧ F(a)
A ∧ B
記述する際は面倒臭いので
否定の論理結合子が直後の文のみを否定することとして、括弧をなくす
(¬A)は単に¬A
論理定項
論理結合子はしばしばそう呼ばれる
置き換えの効かない部分だから
論証の妥当性においては、論証形式(論証の構造)が重要
このとき、この妥当な論証を日常の論理に対応させるには
論証に現れる、文や述語記号や個体定項を解釈をうまく定める
このとき論理結合子はどのような解釈でも一定に保たれる
このためそう呼ばれたりする
ここでは論理結合子、量化子を含めてそう呼ぶ
選言的三段論法
Fa∨Fb,¬Fa⊢Fbik.icon
確か直観主義論理上で、排中律、二重否定の除去、背理法と同値だったっけ?
問題3
Fxはxはオルガン奏者
Gxyはxはyよりも指が長い
aはドン
bはジミー
cはメル
Fa∧Fb,Gac,Gac∧Gcb→Gab,Gcb⊢Gab∧Fa
変項は結構大事
以下は異なる文
Fx∨Gy
FとGにはそれぞれ異なる個体x,yを代入することができる
Fx∨Gx
FとGにはそれぞれ同じ個体xを代入することになる
なので
F( )∨G( )では区別できない
変項は重要
単なる空欄の代わりではない
全称量化子∀
AllのAをひっくり返したやつが記号の由来
存在量化子
ExistのEをひっくり返したやつが記号の由来
(∀x)Fx
(∃y)Gy
一階述語論理では議論領域を考える必要がある
ここでは個体と呼んできた全てのものを議論領域とする
述語の定義を拡張する
F(x)やG(x)のみを述語としてきたが
論理結合子も含む
F(x)→G(x)
F(x)∨G(x)
全ての人間は論理学を学ぶ
∀x∈人間G(x)
Gxはxは論理学を学ぶ
これを次のように変換する
なぜなら、現在の議論領域は人間ではなく全てのものなので
もしxが人間ならば、xは論理学を学ぶ
(∀x)(Fx→Gx)
全ての人間は論理学を学ぶ以下のような形式にすることは議論領域によるけどあまりない
すべてのものは人間でありかつ論理学を学ぶ
(∀x)(Fx∧Gx)
議論領域には人間以外の場合も含まれる
つまりこの論理式は人間のみに限定されていない
すべてのイヌはネコではない
H(x):xはイヌではある
I(x):xはネコである
(∀x)(H(x)→¬I(x))
(人間が(議論領域に)存在して)、ある人間は論理学を学ぶ
Fx:xは人間である
Gx:xは論理学を学ぶ
∃x(Fx∧Gx)
∃x(Fx→Gx)
これでも良くない?
議論領域に人間が含まれない場合に真になる文なので良くないのでは?
教科書の説明
xがFとGを両方持っている
入れ替えたって変わらないはず
∃x(Fx∧Gx)と∃x(Gx∧Fx)は同じ
∃x(Fx→Gx)と∃x(Gx→Fx)は同じではない
∃x(Gx→Fx)
逆は必ずしも真ならず
論理学を学ぶxが存在するならばxは人間である
∃x(Fx→Gx)が真ならば、∃x(Gx→Fx)は真であるのでは?ik.icon
真にはならないよね。
Fxを満たすxが存在しない場合
逆に議論領域に人間が含まれるならば、入れ替え可能??
可能である(たぶん)
∃x(Fx→Gx),∃xF(x)から∃xG(x)が証明できるはずなのでik.icon
∃x(Fx→Gx)
連言(〜そして〜)は時間を表現していない
人工言語は豊かな表現力を持っていない
その分曖昧さを排除できている
社会人である女子学生がいる
Fx:xは社会人である
Gx:xは女子学生がいる
∃x(Fx∧Gx)