t検定

まずは、期待値が0と異なるかどうかを表す指標をつくる

（t検定では「t値」と呼ばれる指標）

t値は以下で計算される。

t値=期待値−0標準誤差

分子が大きければ　・期待値と0との差が大きい

分母が小さければ　・標準偏差（分散）が小さい

→データが期待値から離れておらず、期待値を信用できる

サンプルサイズが大きい　→データの量が多く、期待値が信用できる

の両方が満たされていることになる。

t値が大きければ、期待値は0と異なるとみなすことができそうです。

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t値が大きいか小さいかをどのようにして判別するか、です。この課題を解決するため、検定は、以下の手順を踏みます。

①期待値が0となる確率分布を無理やり作り、この確率分布に従うデータをシミュレーションにより何度も取得し、t値を何度も計算する（例えば100回計算したとします）

②手持ちのデータからもt値を計算する（例えばt値＝2.59となったとします）

③①で計算された複数のt値が、②で計算されたt値（2.59）を超えた回数を記録する

④その回数が100回中5回以内であれば、「偶然でt値が2.59を超える確率」が0.05以下となります。→この確率が0.05を下回っていれば有意差あり、とみなします。

xi=｛−1,−1,0,0,1,3,5,6,7,7｝

このデータの期待値は2.7なのですが、0以下の値も混じっています。そこで、「このデータの期待値が0と有意に異なっているか」をt検定してみます。

t値を計算する

期待値 ：2.70

標準偏差 ：3.30

サンプルサイズ ：10

標準誤差 ：1.04（標準偏差÷10の平方根）

t値 ：2.59（期待値÷標準誤差）

t検定の難所は、「期待値が0となる確率分布を無理やり作り、この確率分布に従うデータをシミュレーションにより何度も取得し、t値を何度も計算する」という部分です。これを普通にシミュレーションすると面倒なので、便利な数式を使います。それがt分布の確率密度関数です。

t分布：t値の確率分布

t値とサンプルサイズを指定すると、「シミュレーションの結果、期待値が0なのに、t値が2.59を超えた確率」がすぐに計算できます。「偶然でt値が2.59を超える確率」が計算できるということです。

Rの例

(1-pt(2.59, 10-1))*2

0.02921347

Excelの例

=TDIST(2.59, 10-1,2)

TDISTという関数に、t値と「サンプルサイズ－１」を入れます。サンプルサイズそのものでない理由は難しいのですが、不偏分散で出てきたときのように、サンプルサイズをそのまま使うと偏りが出てしまうので、訂正した、くらいの感覚でまずは大丈夫です。

最後に、「２」を関数に入れています。t値が大きくなる時は2パターンあります。「期待値が0と『離れて』いる」というところが問題。「離れている」という条件を満たすだけなら期待値が0より大きくなくても、0より極端に小さい(マイナス100とか)状況であってもよいわけです。このように「期待値が0から大きいときもあるし、小さいときもある」ということを指定するために「２」を入れています。

「偶然でt値が2.59を超える確率」は2.92%となりました。これは十分小さいとみなせるので、t値は大きいと判断できます。よって、先ほどのデータの期待値は「0と有意に異なる」とみなすことができます。

参考資料

統計的仮説検定の基礎　logic-blue