非線形システムセミナー
授業学用・目的
非線形システムは現象が面白い。システムが高次元で記述される場合、非線形システム特論のような解析的な接近法はこんなんであり、数値的かつ位相的に現象をとらえる必要がある。本講義では、力学系の理論および計算機科学の両面から非線形現象の定性的接近法の理解を深める。また、不安定周期軌道の安定化法、物理現象に対する非線形モデル構築法を理解する。
学修到達目標
常微分方程式にみられる周期解の安定性計算法を説明できること。
不安定周期軌道の安定化法を説明できること。
各種数値解析法をプログラミングできること。
数値計算法がどのように非線形システムの安定性解析に用いられるのかを説明できること。
授業方法
講義および演習形式で行う。
「大福帳」を使用することで授業毎に質問を受け付ける。
質問事項に関してはその全てを次回授業内において解説する。
成績評価方法・基準
中間試験: 30%
期末試験: 70%
教科書
随時配布する。
参考書
川上博著: 非線形現象
質問者への対応
授業中に質問の時間を設ける(受講者同士の問題意識の共有が重要と考える)が、研究室でも随時質問を受け付ける。時間を予約して来室して下さい。
授業計画
01回 数学モデルとは
数学モデルを作成するための基礎的な考え方について理解する。
02回 非線形モデリング (1)
非線形モデリングの全体の構造を理解する。
03回 非線形モデリング (2)
人口の成長と減衰を例に、問題の定式化までの手順を理解する。
04回 非線形モデリング (3)
人口の成長と減衰を例に、常微分方程式の解を計算できる。
人口の成長と減衰を例に、解の物理的意味を理解する。
05回 非線形モデリング (4)
人口の成長と減衰を例に、解の妥当性と改善方法を理解する。また、非線形2階常微分方程式に対する接近方法を理解する。
06回 動的システムと数学モデル
集中定数系で記述される電気回路系を例に、システムとモデルの関係を理解する。
07回 平衡点の安定性
常微分方程式で記述されるシステムにみられる平衡点の位相幾何学的性質を理解する。
08回 周期解の安定性とPoincare写像
非自律系に対するPoincare写像を理解する。
Poincare写像を用いると、常微分方程式で記述されるシステムにみられる周期軌道の定性的性質は離散力学系の問題に翻訳されることを理解する。
09回 平衡点・周期解の数値計算法 (1)
Runge-Kutta法を理解し、プログラミングできる。
この数値計算法がどのように非線形システムの安定性解析に用いられるのかを説明できる。
10回 平衡点・周期解の数値計算法 (2)
二分法を理解し、プログラミングできる。
この数値計算法がどのように非線形システムの安定性解析に用いられるのかを説明できる。
11回 平衡点・周期解の数値計算法 (3)
LU分解とジョルダン法法を理解し、プログラミングできる。
この数値計算法がどのように非線形システムの安定性解析に用いられるのかを説明できる。
12回 平衡点・周期解の数値計算法 (4)
Newton法を理解し、プログラミングできる。
この数値計算法がどのように非線形システムの安定性解析に用いられるのかを説明できる。
13回 不安定周期軌道の安定化 (1)
カオスおよびカオスに内在する不安定周期軌道の数学的意味付けに関して説明を行う。
14回 不安定周期軌道の安定化 (2)
OGY法について説明できる。
15回 不安定周期軌道の安定化 (3)
Pyragas法について説明できる。
履修者へのコメント
高度で専門的な知識を得るためには、授業時間外の自主学習が肝要。
事前事後学習
本講義では予習・復習に対して十分な時間を割く必要がある。