Introduction to Game-Theoretic Probability
2. The Setup
次のようなゲームを考える
懐疑論者 vs. 予測者 & 現実
プレイヤー:懐疑論者 Skeptic vs. 予測者Forecaster & 現実 Reality(敵対者opponents) 各ラウンド$ n = 1, 2,...において次の作業を行う:
現実が$ y_n \in [-B, B] を宣言する 懐疑論者の新しい資金は$ C_n = C_{n-1} + M_n(y_n - v_n)になる $ M_nは賭け金である。賭けが当たれば$ |M_n(y_n - v_n)|を得るが、外れれば同額を失う。
もちろん、懐疑論者は資金を増やしたい
$ \lim_{n \to \infty} C_n \to \infty $ (1)
それができないならば、極限において敵対者の意見が合致するようにしたい。
$ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{1 \le i \le n} (y_i - v_i) = 0 $ (2)
2.1. Some Terminology
厳密に議論するために用語を定義する
定義
例えば上の$ (1)や$ (2)など
上のゲームならば$ \braket{\braket{v_1, n_1}, \braket{v_2, n_2}, ...} \in \Omega_\infty
$ \Omegaを敵対者の有限長の戦略全ての集合とする 上のゲームならば$ \braket{\braket{v_1, n_1}, \braket{v_2, n_2}, ..., \braket{v_n, y_n}} \in \Omega
事象はその条件を満たす標本空間の部分集合$ E \subseteq \Omega_\inftyとして特徴づけられる 記号の乱用で$ \Omega_\infty, \Omegaを共に$ \Omegaと書く なぜ......
定義
戦略strategyとはペア$ (C_0, \varphi)である 初期資金$ C_0
関数$ \varphi \colon \Omega \to \R
これを予測可能過程predictable processという 終域が$ \Nでなく$ \Rである理由がわからないが、掛け金に相当するものだと思う
2.2 資本プロセス
資本プロセスcapital process$ \mathcal K^\varphi_n(\omega) $ \omega \in \Omega
$ n \in \N
これはゲームによって変わるが、上の懐疑論者 vs. 予測者 & 現実の例では次のように再帰的に定義される
$ \mathcal K^\varphi_0(\omega) \coloneqq C_0
$ \mathcal K^\varphi_{n + 1}(\omega) \coloneqq \mathcal K^\varphi_n(\omega) + \varphi(\omega \upharpoonright n) \cdot (y_n - v_n)
3. 強制と弱強制
定義
すべての$ \omega \in \Omega_\infty, $ n \in \Nについて$ \mathcal K^\varphi_n(\omega) > 0
すべての$ \omega \in \Omega_\inftyについて、次のいずれかが成り立つ:
$ \lim_n \mathcal K^\varphi_n(\omega) = \infty
$ \omega \in E
すなわち、懐疑論者が無限に儲けられないならば、敵対者がどんな手を用いたとしても事象$ Eが実現するということである 定義
すべての$ \omega \in \Omega_\infty, $ n \in \Nについて$ \mathcal K^\varphi_n(\omega) > 0
すべての$ \omega \in \Omega_\inftyについて、次のいずれかが成り立つ:
$ \sup_n \mathcal K^\varphi_n(\omega) = \infty
$ \omega \in E