逆関数
関数は、ある(集団にある)値を(別の集団)の値に移す作用なので、その逆作用は直感的にもイメージできる。
ただ、解析的に表すのは難しい場合が多い。
逆数は、例えば、10倍したものは1/10倍すればよいので、関心のある数を分母にもってきたもの。 ベクトルの操作という観点からは、ある行列にベクトルを与えてできたベクトルを元のベクトルに戻す行列。
行列同士での積が定義されてるので、ある行列にその逆行列をかけると、単位行列になる。単位化(1にする) 逆関数は、
$ g(f(x)) = x
xを入れたら、f(x)が返ってきて、それをg(x)に入れたら、xが返ってくる。2段階で自分に戻ってくる。
行列も関数も、写像ということで抽象化すれば、逆行列と同じ。
ただ、求め方については、逆行列は機械的にいけるけど、、、
逆関数の求め方
f(x)が具体的にあるときに、f(x)の逆関数のg(x)を具体的に求めるには、
y = f(x) みたいに変数yを置いて、xをyについて代数的に解けばよい。その時のyを含む関数の形が逆関数の具体的な形で、yの部分はxに差し替えてもよい。g(y)が y = f(x)を変数にとって、xに戻るというイメージのがすっきりはする。
* 解くのが難しい場合もおおいようだが、、、あとは、全単射でないとだめ、たぶん、行きも帰りも元に対して一本道でないと
いつもながら、以下のサイトの説明がわかりやすい。
下は自分のことばでアウトプットなので、不正確だろうけど。
本質的な意味: 関数を作用させて変換したものを、元に戻す変換。この元に戻す変換を逆関数。
代数的な意味。逆関数を求めるときに、代数的な操作(x,yの入れ替え y=f(x)から x=g(y)で、 y=g(x)) で求める。その時の求めた関数。
幾何的な意味。y=xに関して対象。 yとxが入れ替わった
シンプルに、 $ y = log(x) と $ y = exp(x) はお互いに逆関数。 y = xを対称に。
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