チェビシェフの不等式
$ P(|X-\mu|<k\sigma) \leq \frac{1}{k^2} #不等式 分散(標準偏差)がわかっていれば、確率変数のある偏差以上にいってしまう確率の最低限の上限を知ることができる。
標準偏差の2倍以上になるのは1/4(25%), 3倍以上になるのは1/9(11%)
正規分布の分布関数だと、zが2で5.5%, 3で2.4%なので、チェビシェフの不等式だけだと抑えきれてないが、、
ある偏差以内に収まる確率は、日常的に知りたいので、下限値だけど応用場面は多そう。
証明は、読み飛ばしたけど...
six sigma は、 チェビシェフの不等式の下限なら、(1/6)^2で、0.3%くらい...正規分布なら..six sigmaは3sigma???
チェビシェフの不等式なら、 2sigma以内に入るのは 3/4
ホワイトボードにかいたもの。
https://gyazo.com/76d64746a4cb801baf5f87a67fc34908
分散がない分布もあるから、それは入らないか。
統計学入門 東京大学出版会から。
効用
具体的な確率分布を仮定できない。ただ、平均と分散はわかってる(推定したということだろうか?)
正規分布を仮定できるなら、2シグマの範囲で96%とできるが、、
チェビシェフの不等式なら、ある程度まで絞ることができる。
$ P( |X| > a) \lt \frac{E(||X||)}{a}
$ \frac{E(||X||)}{a} = k とおくと、
$ P(|X| > \frac{E(||X||)}{k}) < k
ある確率変数Xが a以上を取る確率は、その期待値(平均)/a以下。
a=E(||X||)とすると、期待値を超えて行く確率は1以下。これは当たり前。
a=2E(||X||)とすると、期待値(平均)の2倍を超えていく確率は、 1/2.
反比例しますよ、平均値のa倍の値を取る確率は、1/a以下になる、
マルコフの不等式は平均の k 倍を越える確率が 1k 以下である
分散については、
マルコフの不等式において a → a2,X →(X−μ)2 とおき,P(|X−μ|2≥a2)=P(|X−μ|≥a) であることを利用する
$ P(|X - u| \ge a) \le \frac{E(|X -u|^2)}{a^2}
ここは理解をskipして、
上記の本の問題で、E(X) = 1, V(X)=1/3のときの P(0 < X < 2) の確率について、不等号を言う。
u=1なので、 P(0<x<2)は、P(|X-1| < 1) , P(|X-1| > 1)をみて、P(|X-1| >= 1)は、1/3をa=1の二乗でわった値以下。1/3以下。
0-2の外側の確率が1/3以下なので、内側の確率は2/3も含めて、より大きい。
ぐちゃぐちゃな記述になった......
ある確率変数の値が、ある大きさより大きくなる確率は、上限がある。その確率変数の期待値の定数倍以下に抑えられる。でよいかな。
チェビシェフの不等式は、P(|X| > a) が、ある値以下になる不等式なので、
P(|X-u| > 2)が、ある値以下になることを求める。
u=1なので、P(|X| > 2) => p(|X-1|
参考
違うチェビシェフの不等式があると。
2つの数列があって
大きい物どうしの積の平均 ≥ 平均の積 ≥ 逆順の積の平均」となります。
両方ともソートしてかけるとでかい。一方を逆順にしておけば小さい、平均にした積はその間。