バシク行列に対応する順序数
追加ルール
書くのと読むのを楽にするためにここでだけ使う独自ルール
括弧を並べて書いたら、その括弧を結合した行列を表す
$ \begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix}\begin{pmatrix} c \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a & b & c \end{pmatrix}
括弧の後ろに$ \{\}で括った数があったらその直前の括弧を繰り返す
$ \begin{pmatrix} a \end{pmatrix}\begin{pmatrix} b & c \end{pmatrix}\{3\}=\begin{pmatrix} a \end{pmatrix}\begin{pmatrix} b & c \end{pmatrix}\begin{pmatrix} b & c \end{pmatrix}\begin{pmatrix} b & c \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a & b & c & b & c & b & c \end{pmatrix}
しばしば具体的な数字ではなく適当な自然数としてnと表記する
補足
一行の時
ルール
$ \begin{pmatrix} a_0 & a_1 & \cdots & a_x & \cdots & a_n \end{pmatrix}
空の行列は0
右端が0なら+1
,$ a_xが右端の$ a_nより小さく、また$ a_xより右側に$ a_nより小さな数が無い時、$ a_x \sim a_{n-1}を繰り返す
普通に巨大数を計算する時であればこれを有限回繰り返すことによって計算数が爆発的に伸びていく
今回は引数を与えず無限に繰り返されるものと仮定してこれを順序数と対応づける
実例
$ \begin{pmatrix} 0 \end{pmatrix} = 1
$ \begin{pmatrix} 0 & 0 \end{pmatrix}=2
$ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}=3
$ \begin{pmatrix} 0 \end{pmatrix}\{n\} = n
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & \cdots\cdots & \end{pmatrix}=\omega
1より小さい0を見つけそれを繰り返す
$ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\omega
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\omega+1
超限順序数の規則→$ 1+\omega = \omega, \omega+1>\omega $ \begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \end{pmatrix}\{n\}=\omega+n
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}=\omega+\omega=\omega\cdot2
後方の1は後方の0を見つけこれだけを繰り返す
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}\{n\}=\omega\cdot n
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}\cdots\cdots=\omega\cdot\omega=\omega^2
2番目の1は無視して最初の0を見つけ、その後ろにある1も含めて繰り返す
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \end{pmatrix}=\omega^2+1
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}=\omega^2+\omega
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}=\omega^2+\omega^2=\omega^2\cdot2
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\{n\}=\omega^2\cdot n
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}=\omega^2\cdot\omega=\omega^3
$ \begin{pmatrix} 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \end{pmatrix}n=\omega^n
$ \begin{pmatrix} 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \end{pmatrix}\cdots\cdots=\omega^\omega
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \end{pmatrix}=\omega^\omega+1
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \cdots\cdots=\omega^\omega\cdot\omega=\omega^{\omega+1}
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}\cdots\cdots=\omega^{\omega+1}\cdot\omega=\omega^{\omega+2}
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \end{pmatrix}\{n\}=\omega^{\omega+n}
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 \end{pmatrix}=\omega^{\omega+\omega}=\omega^{\omega\cdot2}
$ \begin{pmatrix} 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 \end{pmatrix}\{n\}=\omega^{\omega\cdot n}
$ \begin{pmatrix} 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 \end{pmatrix}=\omega^{\omega\cdot\omega}=\omega^{\omega^2}
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \end{pmatrix}=\omega^{\omega^2}+1
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \end{pmatrix}=\omega^{\omega^2}\cdot\omega=\omega^{(\omega^2+1)}
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 2 & 2 \end{pmatrix}=\omega^{\omega^3}
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 \end{pmatrix}\{n\}=\omega^{\omega^n}
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}=\omega^{\omega^\omega} = \omega \uparrow \omega \uparrow \omega=\omega \uparrow\uparrow 3
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix}=\omega \uparrow \omega \uparrow \omega \uparrow \omega=\omega \uparrow\uparrow 4
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 & \cdots & n \end{pmatrix}=\omega\uparrow\uparrow n
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 & \cdots\cdots & \end{pmatrix}=\omega\uparrow\uparrow\omega=\epsilon_0
おまけ
$ \begin{pmatrix} 3 \end{pmatrix} = 1
$ \begin{pmatrix} 1 & 7 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}=\omega
法則
$ A=\begin{pmatrix}a_0 & a_1 & a_2 & \cdots & a_n \end{pmatrix}について
$ a_0=0で$ 0<i\le n \Rightarrow 0\le a_i \le a_{i-1}+1を満たす時$ Aを「ちゃんとした行列」と呼ぶことにする
以下$ A,Bは任意のちゃんとした行列でありその値をそれぞれ$ \alpha,\betaとする
$ AB=\alpha+\beta
$ A\begin{pmatrix}m\end{pmatrix}\{n\}=f(n)($ fは何らかの関数)$ \Rightarrow A\begin{pmatrix}m & m+1\end{pmatrix}=f(\omega)
$ A\begin{pmatrix}0\end{pmatrix} = \alpha+1
$ A\{n\} = \alpha\cdot n
$ \begin{pmatrix}A\begin{pmatrix}1\end{pmatrix}\end{pmatrix}\{n\} = \alpha\cdot\omega\cdot n
$ A\begin{pmatrix}1\end{pmatrix} = \alpha\cdot\omega
$ A\begin{pmatrix}1\end{pmatrix}A = \alpha\cdot\omega + \alpha
$ A\begin{pmatrix}1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\end{pmatrix} = \alpha\cdot\omega\cdot\omega = \alpha\cdot\omega^2
$ A\begin{pmatrix}1\end{pmatrix}\{n\} = \alpha\cdot\omega^n
$ A\begin{pmatrix}1 & 2\end{pmatrix} = \alpha\cdot\omega^\omega
$ Aに対して$ A^{(m)}=\begin{pmatrix}a_0+m & a_1+m & \cdots & a_n+m\end{pmatrix}とする
$ A^{(0)}=A=\alpha
$ A^{(0)}B^{(0)}=AB=\alpha+\beta(法則1)
$ \begin{pmatrix}0\end{pmatrix}A^{(1)}=\omega^\alpha
$ A^{(0)}B^{(1)}=\alpha\cdot\beta(法則2)
$ \begin{pmatrix}0\end{pmatrix}A^{(1)}B^{(1)}=\begin{pmatrix}0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}A^{(0)}B^{(0)}\end{pmatrix}^{(1)}=\omega^{(\alpha+\beta)}
$ \begin{pmatrix}0 & 1 & 2 & \cdots & n-1\end{pmatrix}A^{(n)}=\omega\uparrow\omega\uparrow\omega\uparrow\cdots\uparrow\omega\uparrow\alpha
$ \begin{pmatrix}0 & 1 & 2 & \cdots & n-1\end{pmatrix}A^{(n)}B^{(n)}=\omega\uparrow\omega\uparrow\omega\uparrow\cdots\uparrow\omega\uparrow(\alpha+\beta)(法則3)
二行
一行なら先述の通り
一番下（一行目以外）の行が全部0だったらその行を消したものに等しい
$ \begin{pmatrix} a_0 & a_1 & a_2 & \cdots\cdots & \\ 0 & 0 & 0 & \cdots\cdots & \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_0 & a_1 & a_2 & \cdots\cdots & \end{pmatrix}
一列の行列同士を$ +で結んだら各行の数値を足し合わせることを意味する
前者の行数の方が多い時は後者の行列の下に足りない分だけ0を加える
逆に後者の方が多い時は後者の下の方を削る
$ \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1+1\\2+1\\3+0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\3\\3\end{pmatrix}
$ \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1+1\\1+2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}=
一行の時に右上に書いていた数も複数行に拡張する
$ \begin{pmatrix}0&1\\2&3\\4&5\end{pmatrix}^{\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}=\begin{pmatrix}2&3\\3&4\\4&5\end{pmatrix}
この辺の表記・計算のルールはこのページ内で便利なように適当に決めた俺ルール
数学一般に使われるものではない
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}=\omega
$ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}^{\begin{pmatrix} 1 \end{pmatrix}}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}^{\begin{pmatrix} 2 \end{pmatrix}}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}^{\begin{pmatrix} 3 \end{pmatrix}}\cdots
$ \ \ \ =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix}\cdots=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 & \cdots\cdots & \end{pmatrix}=\epsilon_0=\phi(1,0)
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\phi(1,0) + 1
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=\phi(1,0) + \phi(1,0)=\phi(1,0)\cdot2
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\{n\}=\phi(1,0)\cdot n
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\phi(1,0)\cdot\omega
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^{\begin{pmatrix} 1 \end{pmatrix}}=\phi(1,0)\cdot\phi(1,0)=\phi(1,0)^2
一行の時に見つけた法則は二行以上でも行きてる
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=\phi(1,0)^2\cdot\phi(1,0)=\phi(1,0)^3
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\{n\}=\phi(1,0)^{(n+1)}
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}=\phi(1,0)^\omega
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\phi(1,0)^\omega\cdot\omega
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=\phi(1,0)^\omega\cdot\phi(1,0)=\phi(1,0)^{(\omega+1)}
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\{n\}=\phi(1,0)^{(\omega+n)}
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\phi(1,0)^{(\omega+\omega)}=\phi(1,0)^{(\omega\cdot2)}
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\{n\}=\phi(1,0)^{(\omega\cdot n)}
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}=\phi(1,0)^{(\omega\cdot\omega)}=\phi(1,0)^{\omega^2}
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}\{n\}=\phi(1,0)^{\omega^n}
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix}=\phi(1,0)^{\omega^\omega}
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^{\begin{pmatrix} 1 \end{pmatrix}}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^{\begin{pmatrix} 2 \end{pmatrix}}=\phi(1,0)^{\phi(1,0)}
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=\phi(1,0)^{\phi(1,0)^{\phi(1,0)}}
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\cdots=\phi(1,0)^{\phi(1,0)^{\phi(1,0)^\cdots}}=\phi(1,1)
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\phi(1,1)\cdot\omega
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=\phi(1,1)\cdot\phi(1,0)
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}=\phi(1,1)\cdot\phi(1,1)=\phi(1,1)^2
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}=\phi(1,1)^\omega
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 3 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}=\phi(1,1)^{\phi(1,1)}
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}=\phi(1,1)^{\phi(1,1)^{\phi(1,1)^\cdots}}=\phi(1,2)
$ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\{n\}=\phi(1,n)
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}=\phi(1,\omega)
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\phi(1,\omega)\cdot\omega
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=\phi(1,\omega)\cdot\phi(1,0)
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\phi(1,\omega)\cdot\phi(1,\omega)=\phi(1,\omega)^2
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\{n\}=\phi(1,\omega)^{(n+1)}
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}=\phi(1,\omega)^\omega
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=\phi(1,\omega)^{\phi(1,0)}
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\phi(1,\omega)^{\phi(1,\omega)}
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}=\phi(1,\omega)^{\phi(1,\omega)^{\phi(1,\omega)^\cdots}}=\phi(1,\omega+1)
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\phi(1,\omega+1)\cdot\omega
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\phi(1,\omega+1)\cdot\phi(1,\omega+1)=\phi(1,\omega+1)^2
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}=\phi(1,\omega+1)^\omega
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 3 & 4 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\phi(1,\omega+1)^{\phi(1,\omega+1)}
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}=\phi(1,\omega+2)
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\{n\}=\phi(1,\omega+n)
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}=\phi(1,\omega+\omega)=\phi(1,\omega\cdot2)
$ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\{n\}=\phi(1,\omega\cdot n)
$ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}=\phi(1,\omega\cdot\omega)=\phi(1,\omega^2)
$ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}\{n\}=\phi(1,\omega^n)
$ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix}=\phi(1,\omega^\omega)
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=\phi(1,\phi(1,0))
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}=\phi(1,\phi(1,0)+1)
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\phi(1,\phi(1,0)+\phi(1,0))=\phi(1,\phi(1,0)\cdot2)
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}=\phi(1,\phi(1,0)\cdot\omega)
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix}=\phi(1,\phi(1,0)\cdot\omega^\omega)
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=\phi(1,\phi(1,0)\cdot\phi(1,0))=\phi(1,\phi(1,0)^2)
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix}=\phi(1,\phi(1,0)^\omega)
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=\phi(1,\phi(1,0)^{\phi(1,0)})
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}=\phi(1,\phi(1,0)^{\phi(1,0)}\cdot\omega)
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix}=\phi(1,\phi(1,0)^{\phi(1,0)\cdot\omega})
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=\phi(1,\phi(1,0)^{\phi(1,0)^2})
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix}=\phi(1,\phi(1,0)^{\phi(1,0)^\omega})
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=\phi(1,\phi(1,0)^{\phi(1,0)^{\phi(1,0)}})
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}=\phi(1,\phi(1,1))
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}\{n\}=\phi(1,\phi(1,n))
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix}=\phi(1,\phi(1,\omega))
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=\phi(1,\phi(1,\phi(1,0))
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 6 & 7 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=\phi(1,\phi(1,\phi(1,\phi(1,0))))
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}=\phi(1,\phi(1,\phi(1,\phi(\cdots))))=\phi(2,0)
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\phi(2,0)\cdot\omega
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}=\phi(2,0)^2
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}=\phi(2,0)^\omega
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}=\phi(2,0)^{\phi(2,0)}
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 \\ 0\end{pmatrix}=\phi(2,0)^{\phi(2,0)\cdot\omega}
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & 4 & 5 \\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix}=\phi(2,0)^{\phi(2,0)^{\phi(2,0)}}
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}=\phi(1,\phi(2,0)+1)
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\{n\}=\phi(1,\phi(2,0)+n)
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}=\phi(1,\phi(2,0)+\omega)
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}=\phi(1,\phi(1,\phi(2,0)+1))
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}=\phi(2,1)
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}=\phi(1,\phi(2,1)+1)
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}=\phi(2,2)
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\{n\}=\phi(2,n)
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}=\phi(2,\omega)
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}=\phi(2,\phi(2,0))
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix}=\phi(2,\phi(2,\omega))
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 4 & 5 & 6 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}=\phi(2,\phi(2,\phi(2,0)))
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}=\phi(3,0)
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}=\phi(1,\phi(3,0)+1)
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}=\phi(2,\phi(3,0)+1)
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}=\phi(3,1)
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}=\phi(3,\omega)
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 3 & 4 & 4 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}=\phi(3,\phi(3,0))
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}=\phi(4,0)
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}\{n\}=\phi(n,0)
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix}=\phi(\omega,0)
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=\phi(\phi(1,0),0)
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & 4 & 5 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}=\phi(\phi(2,0),0)
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & 4 & 5 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 6 & 7 & 8 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}=\phi(\phi(\phi(2,0),0),0)
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}=\phi(1,0,0)
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}=\phi(1,\phi(1,0,0)+1)
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\{n\}=\phi(1,\phi(1,0,0)+n)
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}=\phi(2,\phi(1,0,0)+1)
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}\{n\}=\phi(n+1,\phi(1,0,0)+1)
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix}=\phi(\omega,\phi(1,0,0)+1)
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & 4 & 5 & 6 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}=\phi(\phi(1,0,0),\phi(1,0,0)+1)
$ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & 4 & 5 & 6 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}=\phi(\phi(2,\phi(1,0,0)+1),\phi(1,0,0)+1)
$ \phi(\phi(1,0,0),0)=\phi(1,0,0)