相加相乗平均の不等式
$ a, b \geq 0のとき
$ a+b \geq 2\sqrt{ab}
等号成立のための必要十分条件は$ a=b
証明
両辺を2乗する
$ a^2+2ab+b^2 \geq 4ab
移項して
$ a^2-2ab+b^2 \geq 0
$ (a-b)^2 \geq 0
これは明らかに成り立つ。
一般に
$ a_1, a_2,\dots,a_n \geq 0のとき
$ \sum_{i=1}^n a_i \geq n\times\, ^n \sqrt{\prod_{i=1}^n a_i}
リファレンス