シュワルツの不等式
任意の実数$ a_1,a_2,b_1,b_2に対して
$ (a_1^2 + a_2^2)(b_1^2+b_2^2) \geq (a_1+b_1)^2(a_2+b_2)^2
が成り立つ。一般に、任意の正整数$ nに対して
$ (\sum_{i=1}^na_i^2)(\sum_{i=1}^nb_i^2)\geq(\sum_{i=1}^na_ib_i)^2
が成り立つ。
証明
$ f(x)=(ax+b)^2+(cx+d)^2を考える。
$ f(x) \geq0は明らか。
よって$ f(x)の判別式$ Dについて、$ D\leq 0が成り立つ。
$ f(x)=(a^2+c^2)x^2+2(ab+cd)x+(b^2+d^2)
$ D = 4(ab+cd)^2-4(a^2+c^2)(b^2+d^2)\leq0
$ (ab+cd)^2\leq (a^2+c^2)(b^2+d^2)
よって証明された。
リファレンス