物性物理学Iレポート(第3回)問題
問1. 自由電子の状態密度
1. 1次元系を考察する。自由電子のエネルギーは、$ \epsilon_k = \frac{\hbar^2k^2}{2m}, k= \frac{2\pi}{L}nで与えられる。
状態密度$ D(\epsilon)を
$ D(\epsilon) = \frac{2}{L}\Sigma_k \delta(\epsilon - \epsilon_k) = \frac{2}{L}\int \frac{dk}{\frac{2\pi}{L}}\delta(\epsilon - \frac{\hbar^2k^2}{2m})
なる計算を実行することにより求めよ。また、$ D(\epsilon)を$ \epsilonの関数として図示せよ。
2. 2次元系を考察する。自由電子のエネルギーは、$ \epsilon_{\bm{k}} = \frac{\hbar^2 \bm{k}^2}{2m}, \bm{k}=\frac{2\pi}{L}(n_1, n_2)で与えられる。状態密度$ D(\epsilon)を
$ D(\epsilon) = \frac{2}{L^2} \Sigma_{\bm{k}}\delta(\epsilon - \epsilon_{\bm{k}}) = \frac{2}{L^2}\int \frac{2\pi k d\bm{k}}{(\frac{2\pi}{L})^2}\delta(\epsilon - \frac{\hbar^2\bm{k}^2}{2m})
なる計算を実行することに寄って求めよ。また、$ D(\epsilon)を$ \epsilonの関数として図示せよ。
3. 3次元系を考察する。自由電子のエネルギーは、$ \epsilon_{\bm{k}} = \frac{\hbar^2 \bm{k}^2}{2m}, \bm{k}=\frac{2\pi}{L}(n_1, n_2, n_3)で与えられる。状態密度$ D(\epsilon)を
$ D(\epsilon) = \frac{2}{L^3} \Sigma_{\bm{k}}\delta(\epsilon - \epsilon_{\bm{k}}) = \frac{2}{L^3}\int \frac{4\pi k^2 d\bm{k}}{(\frac{2\pi}{L})^3}\delta(\epsilon - \frac{\hbar^2\bm{k}^2}{2m})
なる計算を実行することに寄って求めよ。また、$ D(\epsilon)を$ \epsilonの関数として図示せよ。
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問2. 3 次元系の自由電子に関して、比熱 C と磁化率 χ の概算値(次元は気にするが 比例係数の具体的な数値は気にしない値)を求めよう。
TODO: /icons/unchecked.icon 自由電子の比熱について勉強する => 量子統計の復習かな
1. 系が Fermi 縮退しているという事実から、比熱 $ C と磁化率 $ \chi の概算値を、Boltzmann 定数 $ k_B , 温度 $ T , Bohr磁子 $ μ_B , Fermi エネルギーにおける状態密度 $ D(ε_F ) の関数として求めよ。 2. 上で得られた量子統計力学に基づいた比熱 $ C_Q と、古典統計力学に基づいた比熱 $ C_C = \frac{3}{2}nk_B ($ n = N/V は電子密度) の比が、細かな比例定数を考慮に入れなければ$ C_Q/C_C \sim k_BT であることを示せ。これは何を意味しているか述べよ。
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問3. 3 次元系の自由電子に関する比熱
Fermi-Dirac 関数 $ f (\epsilon) と 3 次元系の状態密度 $ D(\epsilon) \propto \sqrt{\epsilon} が定義されているとする。 以下の計算では、Sommerfeld展開の公式、 $ \int_0^{\infty}h(\epsilon)f(\epsilon)d\epsilon = \int_0^{\mu}h(\epsilon)d\epsilon + \frac{\pi^2}{6}h^{\prime}(\mu)(k_BT)^2 + O(T^4)
を用いよ。
1. 有限温度における粒子密度 n = N/V の期待値、
$ n = \frac{N}{V} = \int_0^{\infty}D(\epsilon)f(\epsilon)d\epsilon
2. 有限温度における単位体積あたりのエネルギー E/V の期待値、
$ \frac{E}{V} = \int_0^{\infty}\epsilon D(\epsilon)f(\epsilon)d\epsilon
を計算し、絶対零度における系のエネルギー密度$ E_0/V, Fermi エネルギーにおける状態密度状態密度$ D(\epsilon_F), Boltzmann 定数$ k_B, 温度$ Tの関数として求めよ。
3. 比熱$ Cを求めよ。
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問4. Li の Fermi エネルギー
1. Fermi 波数$ k_F = (3\pi^2n)^{1/3}を求めよ
2. Fermi エネルギー$ \epsilon_F = \frac{\hbar^2k_F^2}{2m}を$ \mathrm{eV}の単位で求めよ。ただし、$ \hbar = 6.62\times10^{-34}\mathrm{m^2kg/s}, m_e = 9.10\times10^{-31}\mathrm{kg}であり、エネルギーの換算式$ 1\mathrm{J} = 6.24\times10^{18}\mathrm{eV}を用いよ。 3. $ ε_F = k_B T_F で定義される Fermi 温度を、$ \mathrm{K} の単位で求めよ。ただし、 $ k_B = 1.38 \times 10^{−23} \mathrm{J/K}である。また、室温が Fermi温度 $ T_F より十分低くなることを確認せよ。