物性物理学Iレポート(第2回)

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物性物理学Iレポート(第2回)

問1. 正方格子

1. 基本逆格子ベクトル

$ \vec{b_1} = \frac{2\pi}{a} \begin{pmatrix}1\\0 \end{pmatrix}, \vec{b_2} = \frac{2\pi}{a}\begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix}

2. 第1ブリルアンゾーン

3. チェッカーボード型の基本逆格子ベクトル

4. チェッカーボード型の第1ブリルアンゾーン

2. の図の赤斜線部分。

5. 構造因子

$ S_G

$ = \Sigma_j e^{i\bm{G}\cdot\bm{d}}

$ = e^{i\bm{G}\cdot 0} + e^{i\bm{G}\cdot a\bm{\hat{y}}}

$ = 1 + \exp (ia\bm{\hat{y}}\cdot (h\bm{b}^{\prime}_1 + k \bm{b}^{\prime}_2))

$ = 1 + e^{ik\pi}

$ 1 + (-1)^k

$ = \begin{cases} 2 & \text{when $k$ is even} \\ 0 & \text{when $k$ is odd} \end{cases}

よって

$ S_G = \begin{cases} 4 & \text{when $k$ is even} \\ 0 & \text{when $k$ is odd} \end{cases}

6. ブラッグ点

問2. 面心立方格子

1. 逆格子ベクトル

2. 逆格子

体心立方格子

3. 第1ブリルアンゾーン

問3. 正方晶系に属する単純格子の面間隔について

問4

問5. 格子振動

1. 運動方程式を書き下せ

$ m \frac{d^2u_j}{dt^2} = -K_1 (u_j - v_{j-1}) - K_2 (u_j - v_j)

$ m\frac{d^2v_j}{dt^2} = - K_1(v_j - u_{j+1}) - K_2(v_j - u_j)

2.運動方程式を 2x2 の行列形式で表せ

$ \begin{pmatrix} -m\omega^2+K_1+K_2 & -(K_1e^{-ika}+K_2) \\ -(K_1e^{ika}+K_2) & -m\omega^2+K_1+K_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}u_k \\ v_k\end{pmatrix} = 0

3.分散関係

$ \begin{vmatrix} -m\omega^2+K_1+K_2 & -(K_1e^{-ika}+K_2) \\ -(K_1e^{ika}+K_2) & -m\omega^2+K_1+K_2 \end{vmatrix} = 0

となればよいので

$ (-m\omega^2+K_1+K_2)^2 - (K_1e^{-ika}+K_2)(K_1e^{ika}+K_2) = 0

$ -m\omega^2+K_1+K_2 = \pm\sqrt{K_1^2+K_2^2+2K_1K_2\cos ka}

$ \omega^2 = \frac{1}{m}(K_1+K_2) \mp \frac{1}{m}\sqrt{K_1^2+K_2^2+2K_1K_2\cos ka}

$ \omega (k) = \sqrt{\frac{1}{m}(K_1+K_2) \mp \frac{1}{m}\sqrt{K_1^2+K_2^2+2K_1K_2\cos ka}}, (\omega > 0)

図示

4. 音響モード

$ \omega (k) = \sqrt{\frac{1}{m}(K_1+K_2) - \frac{1}{m}\sqrt{K_1^2+K_2^2+2K_1K_2\cos ka}}

$ w^{\prime}(k) =

5. 音響モードの固有ベクトル

問7. 状態密度とフォノンの比熱

1.

$ g(\omega) = \frac{3}{V} \int_0^{k_D} \frac{4\pi k^2dk}{(2\pi/L^3)}\delta(\omega-\omega(\vec{k}))

$ = \frac{3L^3}{2\pi^2 V} \int_0^{k_D} k^2\delta(\omega - ck)dk

$ = \frac{3L^3}{2\pi^2 V} \int_0^{ck_D}ds(s^2/c^2)\delta(\omega-s)(1/c)ds

$ = \frac{3L^3}{2\pi^2 Vc^3} \int_0^{ck_D} s^2 \delta(\omega-s) ds

が示された。

2. デバイの式

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問1.

問5.

3.

4.

問7

1.