数学雑記　Alweくん課題1

以下の事実を確認せよ．

Alwe — 2024/06/17 18:17

コンパクト空間からHausdorff空間への連続全単射は同相であることの証明を教えるアイドルがいることしかしらない

itmz153（みーくん） — 2024/06/17 18:52

まじか．教えてほしい．

流石に即座に証明は出来ないなあ．定義は全部言えるから頑張れば1時間とかで出来るかな～ってレベル．

実はめっちゃ難しいのは無しで

Alwe — 2024/06/17 19:09

コンパクト⇔任意の超フィルターが収束先を持つ

Hausdorff⇔任意の超フィルターが収束するなら収束先が一意

を抑えておくとf:K→Xを連続全単射としたとき、lim U in Xが存在すれば一意に定まり、はKの超フィルターで収束先を持つため、f^{-1}(U)が超フィルターとなることから連続性を確認できる

itmz153（みーくん） — 2024/06/17 19:16

フィルターを用いて議論したことがないので今度証明する必要があったらこの方法で示すよ．

勉強になるありがとうございます．

（なかなか位相空間論でフィルターから教わることなさそう．本もあんまり見ないな．ブルバキだと出てきた気がする．）

今日はもう仕事でつかれたので考えられませーん

Alwe — 2024/06/17 19:18

仕事偉い

フィルターを使った証明の良さは代数では当たり前で成り立つことが、位相空間の場合に部分的に適用できるところにある。この場合は群の全単射準同型が同型であることとパラレルになる (背景にコンパクトハウスドルフ空間の圏CHausがSet上monadicになっていることにある)

itmz153（みーくん） — 2024/06/17 19:24

群の全単射準同型が同型であることとパラレルになる

全単射準同型が同型で無い例は群でないような代数だと出てくるんかな．

Alwe — 2024/06/17 19:26

普遍代数や、モナドの代数の圏の場合ならない

一方で順序構造とかを考えるとすぐ出てくる

itmz153（みーくん） — 2024/06/17 19:28

へー。まじかー想像できない。

数学勉強し直してえなあ！

何もわかってない！

Alwe — 2024/06/17 19:30

これは本当に少し手を動かせば分かると思う

順序集合の準同型は順序保存写像x≦yならばf(x)≦f(y)

順序集合の同型は順序保存f:X→Yとg:Y→Xでgf=id, fg=idとなるもの

itmz153（みーくん） — 2024/06/17 19:34

でしょうねって定義だね。想像できたよ。

疲れて布団に入っているんだがしょうがねえなあ。構成してやるよ。

寝ながらでもiPadで数学はできるため。寝落ちたらそっとしといて

仕事が早い．もう書かれた．