層の定義
まだ途中．
定義はRaymondの本．日本語は河田のものを参考にした．
定義 1.1.1 前層
$ Xを位相空間とする．$ X上の前層$ \mathcal{F}は以下の(a), (b)を満たすものを言う．
(a)$ Xの任意の空集合でない開集合$ Uに対して集合$ \mathcal{F}(U)を割り当てる．
(b) 次の1,2を満たす写像の集まりである（制限写像と呼ぶ）．
$ r^{U}_{V} : \mathcal{F}(U) \longrightarrow \mathcal{F}(V)
開集合$ U, Vは$ U \subset Vで以下を満たすとする．
1. $ r_{U}^{U}は$ U上の恒等写像である．
2. 開集合$ U \supset V \supset Wに対して$ r^{U}_{W} = r^{V}_{W} \circ r^{U}_{V}．
定義 1.1 以上．
注: $ \mathcal{F}(U)はアーベル群などの代数的な構造が入る集合と今は思っておけば良い．
定義 1.1.2 前層の同型写像と部分前層
$ X上の前層$ \mathcal{F}, \mathcal{G}があり，前層の同型写像
$ h: \mathcal{F} \longrightarrow \mathcal{G}
は以下のような写像の集まりである．
$ h_{U} : \mathcal{F}(U) \longrightarrow \mathcal{G}(U)
位相空間$ Xの開集合$ Uが以下の図式を可換にする．
https://gyazo.com/24cd0ce35422dfe8d73e10df62b0aaa8
ただし$ V \subset U \subset X．
上の写像$ h_{U}が包含写像であれば前層$ \mathcal{F}は前層$ \mathcal{G}の部分前層で呼ぶ．
定義 1.1.2 以上．
可換図式書けないのつらい。
参考文献
1. Raymond O. Wells, Differential Analysis on Complex Manifolds. Springer; 3rd ed. 2007.
2. 河田敬義，ホモロジー代数Ⅱ．岩波書店 1977．