十分条件と必要条件

十分条件と必要条件

変数$ xの変域を$ Uとして、$ P(x),Q(x)を自由変数$ xの述語であるとする

$ P(x)の真理集合が$ Q(x)の真理集合の部分集合である場合

は、このようになるcFQ2f7LRuLYP.icon

$ \{x|P(x)\}\subset\{x|Q(x)\}

このとき、$ P(x)は$ Q(x)の十分条件 (sufficient condition) 、$ Q(x)は$ P(x)の必要条件 (necessary condition) である、という

例cFQ2f7LRuLYP.icon

変数$ xの変域を$ \Nとして、$ P(x),Q(x)を自由変数$ xの述語であるとする

$ P(x)が「$ x+1=2」、$ Q(x)が「$ x^2-3x+2=0」としよう

このとき$ P(x),Q(x)の真理集合は

$ \{x|P(x)\}=\{1\}

$ \{x|Q(x)\}=\{1,2\}

したがって$ P(x)の真理集合は$ Q(x)の真理集合の部分集合である

$ \{x|P(x)\}\subset\{x|Q(x)\}

このとき、$ P(x)は$ Q(x)の十分条件、$ Q(x)は$ P(x)の必要条件である

$ P(x)が$ Q(x)の十分条件であり、かつ必要条件でもあるときは$ P(x)は$ Q(x)の必要十分条件(necessary and sufficient condition)という

これは$ P(x) \iff Q(x)と同じ