生成される環・添加して得られる環
単位元を持つ部分環と、もとの環の部分集合を考える
部分環 $ Sと部分集合$ Aを含むすべての部分環の共通部分（これも部分環である）を、$ S上$ Aで生成される部分環とよぶ
または、同じものを$ Sに$ Aを添加して得られる部分環とも呼ぶ
定理
$ Rは単位元$ e をもつ可換環
$ S は$ eを含む$ Rの部分環
$ A = \{a_1, a_2, \dots, a_n\}は$ Rの部分集合
このとき、SにAを添加して得られる部分環は、
$ \{ \sum_{\rm{finite}} c_{k_1k_2 \dots k_n}a_1^{k_1}a_2^{k_2}\cdots a_n^{k_n} | c_{k_1k_2 \dots k_n} \in S, k_1 \dots k_2 は0以上の整数 \}
の形になる。
具体例