解析
解析
三角関数
直角三角形による定義
単位円による定義
級数による定義
角度や辺の長さは幾何学的な概念に依存している
定義域を複素数に拡張する
加法定理
$ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta
$ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta
XY座標上の点P(x, y)を回転移動させる場合、x, yの位置と回転させたい角度が分かれば計算可能
行列の言葉で表すと
$ \begin{bmatrix} x\prime \\ y\prime \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha \\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}
微分
導関数を求めること
実数を定義、極限を定義して連続を定義する必要がある
数列の収束($ \epsilon \text{-} N論法)
関数値の収束($ \epsilon \text{-} \delta論法)
微分可能性
微分係数$ \lim_{h \to 0} \frac {f(a+h)-f(a)} {h} が存在する
関数$ f(x)は$ x = aで微分可能
微分係数 $ f'(a)
左側極限値と右側極限値が等しい
左側微分係数と右側微分係数
微分可能であれば連続だが、逆は一般には成り立たない
$ f(x) = |x| は$ x =0で連続だが微分可能ではない
ロルの定理
平均値の定理
テイラー展開
ロピタルの定理
積分
原始関数(不定積分)を求めること
被積分関数の式変形が難しく、たくさん演習をこなす必要がある
三角関数、指数・対数関数などの性質を理解しておく
微分と積分は互いに逆の演算
定積分
リーマン和の極限
広義積分
不連続な関数や区間が有限でない場合を考慮した積分
ガンマ関数