線形代数
線形代数
行列
数学Cで習った範囲
計算方法だけで、どういうモチベーションのものなのかは教わった記憶がない(忘れているだけ？)
コンピュータグラフィックス
回転、拡大縮小
3D表現
右手系左手系の違いが外積の計算に影響する
GPU
機械学習で頻出
たくさんのパラメータを一気に計算する
フィボナッチ数列は線形代数の言葉で表せる
次元
我々の素朴な直観と一致する形で数学的に定義し、体系化する
線形とは
定義
写像$ fが以下の性質を満たす
$ f(x+y)= f(x) + f(y)
$ f(kx) = kf(x)
まとめて書くと
$ f(kx + ly) = kf(x) + lf(y)
線形写像、線形変換、一次変換
簡単に言うと
演算してから写像した結果と、写像してから演算した結果が同じ
直感的な理解
変数と変数の関係が直線
「変数と変数」の関係であることに注意
確認してみる
$ f(x) = 2xで$ a=1, b=2のとき
$ f(a+b)は$ f(3) = 6、$ f(a)+f(b)は$ f(1) + f(2) = 2 + 4 = 6
$ f(a・b)は$ f(2・2) = 8、$ f(4) = 8、$ 2・f(2)=2・4=8
$ f(a+b)=f(a)+f(b)
一般的に
$ f(x+y)=2(x+y)=2x+2y
$ f(x+y)=f(x)+f(y)
$ f(x) = 2x^2で$ a=1, b=2のとき
$ f(a+b)は、$ f(3)=18、$ f(a)+f(b)は$ f(1)+f(2)=2+8=9
$ f(a+b)≠f(a)+f(b)
非線形
グラフを描いても確かに曲線になる
一般的に
$ f(x+y)=2(x+y)^2=2x^2+4xy+2y^2
$ f(x+y)≠f(x)+f(y)
ベクトル
とりあえずの定義
数を並べたもの
固有値・固有ベクトル
どんな一次変換でも、必ず向きが変わらないベクトルが存在する
ある正方行列Aがあり、その行列に特別な値とベクトルを探す
正方行列を対角化でき、$ n乗の計算がしやすくなる
参考文献
竹内淳『高校数学でわかる線形代数』
鍵本聡、北垣絵美『マンガ 線形代数入門』
平岡和幸、堀玄『プログラミングのための線形代数』
藤岡敦『手を動かしてまなぶ線形代数』
加藤文元『大学教養 線形代数』
隈部正博『入門線型代数（’１９）』
森毅『線型代数 生態と意味』
梶原健『線形代数講義』
長谷川浩司『線型代数』
小島寛之『ゼロから学ぶ線形代数』
Philip N. Klein『Coding The Matrix: Linear Algebra Through Computer Science Applications』