群論

群論

集合と演算の組み合わせ

演算は足し算、掛け算などの四則みたいなものだけじゃなくて、もっと抽象的なもの

例えば「あみだくじを2つ繋げる」というのも演算

何かと何かを入れ替える

数式の変数だったり

図形の頂点だったり

集合Xでは演算＊が閉じている(集合Xに演算＊は定義される)

ある集合の元(要素とも呼ばれる)同士を演算した場合、結果がその集合に属している

定義

結合法則が成立する

単位元が存在する

すべての元に逆元が存在する

二面体群(Dihedral Group)

正多角形を自分自身に移す合同変換全体の成す群

対称群(Symmetric Group)

「ものを並べ替える」という操作を元とする群

巡回群(Cyclic Group)

ただ一つの元で生成される群

変換群(Transformation Group)

正方形を「各辺と内角がすべて等しい四角形」ではなく「π/2回転させてぴったり重なる四角形」と定義できる

群とデザイン

この場合のデザインは視覚的な意味ではない

群とグラフィックデザイン

{0, 1, 2, 3, 4}を縦軸と横軸に取り、足して5で割った数字

群になる

クリックで数字が出る

それぞれの数字に図形を対応させる

足し算を掛け算にすると群にならない

0のせい

視覚的なパターンとしてもかっこ悪い

もちろんこれは恣意的な並べ方に過ぎないのだけど、かっこ悪いと感じるのは何故か

{1, 2, 3, 4}にすると群になる

レヴィ=ストロース『親族の基本構造』

ヴェイユが協力

方程式の解の対称性と図形の対称性を結びつけるアイディアがすごい

集合としては異なるものが、群としては同じ構造を持つことがある

「代数的に解く」とは

四則演算と累乗根を取る演算

この5種類の演算だけで解けるということ

2次方程式の解の公式を順番通りに理解する

5次以上の方程式は一般には代数的に解けない

解けないことはアーベルが証明

ガロアはどんな時に解けて、どんな時に解けないかを明らかにした

答えを求めるのではなく、答えを含む構造を明らかにする

群と体を結びつけるのがガロア理論