逆行列

余因子行列

$ Aの (i,j)余因子 \tilde{a}_{ij}:=(-1)^{i+j}|A_{ij}|

$ A_{ij}:=（Aのi行目、j列目を削除した行列）

$ \tilde{A}:=^t(\tilde{a}_{ij})

$ =\textcolor{red}{^{t}}\begin{pmatrix}\tilde{a}_{11}&\tilde{a}_{12}&\cdots&\tilde{a}_{1n}\\\tilde{a}_{21}&\tilde{a}_{22}&\cdots&\tilde{a}_{2n}\\&&\vdots\\\tilde{a}_{n1}&\tilde{a}_{n2}&\cdots&\tilde{a}_{nn}\end{pmatrix}

$ =\begin{pmatrix}\tilde{a}_{11}&\tilde{a}_{21}&\cdots&\tilde{a}_{n1}\\\tilde{a}_{12}&\tilde{a}_{22}&\cdots&\tilde{a}_{n2}\\&&\vdots\\\tilde{a}_{1n}&\tilde{a}_{2n}&\cdots&\tilde{a}_{nn}\end{pmatrix}

定理

正方行列Aにおいて、

$ Aが正則\iff|A|\neq 0

$ A^{-1}=\frac{1}{|A|}\tilde{A}

2次の逆行列

$ A^{-1}=\frac{1}{|A|}\tilde{A}

$ = \frac{1}{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}^{t}\begin{pmatrix}(-1)^{1+1}|d|&(-1)^{1+2}|c|\\(-1)^{2+1}|b|&(-1)^{2+2}|a|\end{pmatrix}

$ = \frac{1}{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}^{t}\begin{pmatrix}d&-c\\-b&a\end{pmatrix}