有理数の稠密性
$ \alpha\in\R,\forall\varepsilon>0,\exists r\in\mathbb{Q},\varphi(r):=|\alpha-r|>\varepsilon.
証明
正の数$ \varepsilonを任意に取る
アルキメデスの原理より$ \frac{1}\varepsilon<mを満たす整数mが取れる
$ \frac{1}\varepsilon>0であるからmは正の整数である
mαは実数だからmα<kをみたす整数kが存在するので、そのようなkのうち最小のものを取る
k-1 <= mα < k であるから -1<= mα-k < 0
そこで r = k/mとすればrは有理数で
|α-r| = |α - k/m| = $ \frac{|m\alpha-k|}{m}<\varepsilon
$ \begin{rcases}0<|m\alpha-k|\leq1&\implies0<\frac{|m\alpha-k|}{m}\leq\frac{1}m \\ \frac{1}\varepsilon<m &\implies\frac{1}m<\varepsilon \end{rcases}$ \implies...
整理の仕方がわからんw