多項式近似
$ \sin xは点$ (0,0)において接線$ y=xをもつため、xが0に十分近いとき$ \sin x\approx x
曲線を単純な式で近似することはおおよその値を知ることにおいて有用
直線より正確な近似を得るために多項式近似を行う
冪級数
n階導関数
xのどの点周りで展開するか？
その点で展開するモチベは何
関数が閉区間で連続なら閉区間上で最大値最小値を持つ
fxが閉区間$ [a,b] で連続、開区間で微分可能かつ$ f(a)=f(b)ならば$ f'(c)=0を満たすcが開区間上に存在する
ラグランジュ
閉〜可能とする。このとき$ \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)を満たすcが存在する
平均値の定理と関係がある
$ f(x)が区間$ (\alpha,\beta)上でn回微分可能とする。
この時$ x,a\in (\alpha,\beta)に対し次の式が成り立つ$ \theta\in (0,1)が存在する
$ f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}+…+\frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!}(x-a)^{(n-1)}+\frac{f^{(n)}(a+\theta(x-a))}{n!}(x-a)^n
$ = \textcolor{blue}{\sum_{k=0}^{n-1}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k}+\textcolor{red}{\frac{f^{(n)}(a+\theta(x-a))}{n!}(x-a)^n}
なんだこれ
$ \textcolor{blue}{xの(n-1)次多項式}
$ \textcolor{red}{ラグランジュの余剰}
これが意味不明
多項式近似による誤差
どうやって得られるのか？
後でやる
テイラー展開
$ R_n := \frac{f^{(n)}(a+\theta(x-a))}{n!}(x-a)^n
def. $ fのx=aのまわりでのテイラー展開
$ f(x)が$ a\in \Rを含む区間において無限回微分可能でその区間の各点$ xで
$ \lim_{n\rightarrow\infin}R_n=0が成り立つならば
$ \sum_{n=0}^{\infin}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}{(x-a)^n}は収束して
$ f(x) = \sum_{n=0}^{\infin}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n
ただし$ f^{(0)}(x):=f(x)
マクローリン展開
$ f(x) = \sum_{n=0}^{\infin}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n