ネイピア数
ネイピア数
『確率統計入門:モデル化からその解析へ』.iconp32
log(x)の導関数
$ g(x):=\log x
$ g'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\log(x+h)-\log x}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\log\left(1+\frac{h}{x}\right)^\frac{1}h
$ n=\frac{x}hとおくと、$ h\rightarrow 0のとき$ n\rightarrow \infinであるから、
$ \lim_{h\rightarrow 0}\log\left(1+\frac{h}{x}\right)^\frac{1}h=\lim_{n\rightarrow \infin}\log\left(1+\frac{1}{n}\right)^\frac{n}x
$ e:=\lim_{n\rightarrow \infin}\left(1+\frac{1}n\right)^nより
$ g'(x)=\log e^\frac{1}x=\frac{1}x.
この式で$ x=1とすることで、
特に$ \lim_{h\rightarrow 0}\frac{\log(1+h)}{h}=1であることがわかる。
x=1のときのg(x)の微分係数は1
$ h=e^t-1とおけば、$ h\rightarrow 0と$ t\rightarrow 0は同値で、
$ \lim_{t\rightarrow 0}\frac{\log(1+e^t-1)}{e^t-1}=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{t}{e^t-1}
なんでこの置き方した？hoshihara.icon
これより、$ \lim_{h\rightarrow 0}\frac{e^h-1}{h}=1
この指数の極限の話をし始めた理由がよくわからない。hoshihara.icon
gpt-5.iconによるとd/dx e^x=e^xを示すのに使うようだ。（そういうの書いててほしい💛）