Untitled_STxl034C

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『数理統計学 (数学シリーズ)』.icon

確率

我々が関心を持つ事象（集合）だけを集めたもの

事象の和事象、積事象、積事象の和事象などの集合

事象族

可測集合族

定義

$ \mathscr{A}:可測集合族\overset{\mathrm{def}}{\iff}

以下の条件をみたす集合族

$ \varnothing\in\mathscr{A}

$ A_n\in\mathscr{A},n=1,2,\dots\implies\bigcup_{n=0}^\infin A_n\in\mathscr{A}

$ A\in\mathscr{A}\implies A^c\in\mathscr{A}

確率測度

定義

事象族の上で定義された関数Pが次の3つの条件をみたすとき、確率測度という

$ \forall A\in\mathscr{A},0\leq P(A)\leq 1

$ P(\varnothing)=0,P(\Omega)=1

$ \set{A_n}_{n=1}^{\infin}\subset\mathscr{A}(A_m\cap A_n=\varnothing(m\neq n))\implies P\left(\bigcup_{n=1}^\infin A_n\right)=\sum_{n=1}^\infin P(A_n)

$ P(A^c)=1-P(A)

定義