数学的帰納法
任意の空集合でないNの部分集合は最小元を含む
❌$ \forall S\subseteq\N,\exists n,\forall m\in S,n\leq m.
❌$ \forall S\subseteq\N,S\neq\varnothing\implies \forall n\in S,\exists m, m\leq n.
すべての空集合でない自然数の部分集合Sに対して、すべてのSに含まれる元について、ある数mが存在して、m <= n.
これだとmが自然数であることやSの元であることが宣言できてない
仮に自然数と仮定しても$ S=\set{2, 3, 4}に対して$ m=0がm <= nをみたすという当たり前のことを言っているに過ぎない
そしてさらにSの元という条件を足したとしても全称が先だとn=4について3とか2とか選べてしまうため最小元に言及できていない
一般に、存在が先だと強い命題になりやすい？
👌$ \forall S\subseteq\N,S\neq\varnothing\implies \exists m\in S,\forall n\in S, m \leq n.
すべての空集合でなくNの部分集合であるSに対して、あるSの元mが存在して、すべてのSの元nに対して、m<= nが成り立つ。
Thm.
$ \Nの整列原理が正しいとする。
このとき、数学的帰納法が成り立つ。
$ (a): P(0)
Pは主張（述語）
$ (b): \forall n\in \N (P(n)\implies P(n+1))
$ (a)\land(b)\implies \forall n\in\N, P(n).
proof:
$ F:=\set{n|\neg P(n)}\subseteq\Nとし、
$ F=\varnothingならば、数学的帰納法が成り立つ
背理法を用いる。
$ F\neq\varnothingを仮定して、矛盾を導く
Fは自然数の集合より最小元$ mを含む。
$ (a)より$ m\neq0, m\ge1だから$ m-1\in\N
$ m-1\notin Fつまり、$ P(m-1)は真
$ (b)より、$ P((m-1)+1)=P(m)は真、すなわち$ m\notin F
これは、$ m\in Fに矛盾。
ゆえに、$ F=\varnothing.