2元配置モデルにおける変動の分解

$ \sum_{i=1}^r\sum_{j=1}^J\sum_{k=1}^K(y_{ijk}-\bar{y})^2 = Kr\sum_{j=1}^J (\bar{y}_{j.} - \bar{y})^2 + Jr\sum_{k=1}^K(\bar{y}_{.k}-\bar{y})^2 + r\sum_{j=1}^J\sum_{k=1}^K(\bar{y}_{jk} - \bar{y}_{j.} - \bar{y}_{.k} + \bar{y})^2 + \sum_{i=1}^r\sum_{j=1}^J\sum_{k=1}^K(y_{ijk} - \bar{y}_{jk}^2

ここで、

総変動

$ \sum_{i=1}^r\sum_{j=1}^J\sum_{k=1}^K(y_{ijk}-\bar{y})^2 = SS_T

$ Kr\sum_{j=1}^J (\bar{y}_{j.} - \bar{y})^2 = SS_A

$ Jr\sum_{k=1}^K(\bar{y}_{.k}-\bar{y})^2 = SS_B

交互作用変動

$ r\sum_{j=1}^J\sum_{k=1}^K(\bar{y}_{jk} - \bar{y}_{j.} - \bar{y}_{.k} + \bar{y})^2 = SS_{AB}

水準内変動

$ \sum_{i=1}^r\sum_{j=1}^J\sum_{k=1}^K(y_{ijk} - \bar{y}_{jk}^2 = SS_W

したがって、総変動は以下のように分解できる

$ SS_T = SS_A + SS_B + SS_{AB} + SS_W

参考：入門統計解析 p321