加群Z/5Zの自己同型群

$ \sigma \in {\rm Aut}(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})は次のような生成元$ 1を写す写像で決まる。

$ \sigma_n(1) = n

$ \sigma_2のとき、次のような写像である。

$ 0 \mapsto 0, 1 \mapsto 2, 2 \mapsto 4, 3 \mapsto 1, 4 \mapsto 3

これが全射準同型であることは明らかである。$ \sigma_nの場合も同様である。

いま、$ n \in (\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})^\timesとすれば$ \sigma_a\sigma_b=\sigma_{ab}であるから$ \{\sigma_n\}は位数が4の群で$ {\rm Aut}(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})に同型である。