完全性と無矛盾性

意味論的なそれと、メタ数学におけるそれ

完全性

意味論: そのカテゴリーの真のメンバーは、そのカテゴリーの定義を敷衍することでいつの日か必ず生成される

メタ数学: その理論の真の言明は、いつの日か必ず定理として生成される

無矛盾性

意味論: そのカテゴリーに属さないメンバーは決して生成されないこと

メタ数学: その理論で正しくない言明は決して生成しえないこと

無矛盾性は、その言葉尻からすると、その命題を真とする言明と、偽とする言明の両方を生成しないことという意味に聞こえるが、結局のところ「偽の言明を証明しないこと」と同値

完全性は「網羅すること」、無矛盾性は「はみ出ないこと」

ゲーデルの不完全性定理は、「はみ出ないこと」（無矛盾性）を形式システムに要請する限り、「網羅しきれいないもの」（不完全性）が必ずや存在してしまうという話