2次元衝突
次に衝突後に図のような2次元平面内に質点が移動する場合を考える.運動量保存と力学的エネルギー保存より,
$ m_{1}u_{1}=m_{1}v_{1}\cos{\theta_{1}}+m_{2}v_{2}\cos{\theta_{2}} (1)
$ 0 = m_{1}v_{1}\sin{\theta_{1}}-m_{2}v_{2}\sin{\theta_{2}} (2)
$ \frac{1}{2}m_{1}u_{1}^{2}=\frac{1}{2}m_{1}v_{1}^{2}+\frac{1}{2}m_{2}v_{2}^{2} (3)
と表される.
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式(1),(2)より$ \theta_{2}を消去する.
$ m_{1}^{2}\left(u_{1}-v_{1}\cos{\theta_{1}}\right)^{2}+m_{1}^{2}v_{1}^{2}\sin{^{2}\theta_{1}}=m_{2}^{2}v_{2}^{2} (4)
式(4)の$ v_{2}^{2}に式(3)を代入すると,
$ \left(m_{1}+m_{2}\right)v_{1}^{2}-2m_{1}u_{1}v_{1}\cos{\theta_{1}}+\left(m_{1}-m_{2}\right)u_{1}^{2}=0
となる.
$ v_{1}が実数解をもつためには
$ \sin{\theta_{1}} \leq \frac{m_{2}}{m_{1}}
が必要である.ただし,$ 0 \leq \theta_{1}\leq \piとする.
$ m_{1}<m_{2}の場合は,$ 0 \leq \theta_{1}\leq \piの任意の値を取れる.
$ m_{1}>m_{2}の場合は,上限が存在し,$ \sin{\theta_{\rm max}}=\frac{m_{2}}{m_{1}}となる.