1軸周りの回転運動
ある質点$ m が位置$ \bm{r}で速度$ \bm{v}を持っている時,その質点の持つ角運動量$ \bm{h}は, $ \bm{h}=m\bm{r}\times \bm{v}
と表された.同様に,剛体が図のようにひとつの軸周り(ここでは$ z軸)に回転しているとする.
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この剛体が多質点から成ると見なすと,その$ z軸方向の角運動量は
$ h_{z}=\sum_{i}^{}m_{i}\left(x_{i}\dot{y}_{i}-y_{i}\dot{x}_{i}\right)\in \mathbb{R}
となる.
質点の座標を円柱座標系で表すと,
$ (x_{i}, y_{i}) = (r_{i}\cos{\theta_{i}}, r_{i}\sin{\theta_{i}})
かつ
$ (\dot{x}_{i}, \dot{y}_{i}) = (-\omega r_{i}\sin{\theta_{i}}, \omega r_{i}\cos{\theta_{i}})
である.これを$ z軸方向の角運動量に代入すると,
$ h_{z}=\sum_{i}^{}m_{i}r_{i}^{2}\omega = J\omega
となる.ここで$ \sum_{i}^{}m_{i}r_{i}^{2}= J_{z}とした.この$ J_{z}\in\mathbb{R}を(一般的には)慣性モーメントと呼び,単位は通常$ \rm{kgm^{2}}である.ここでは1つの軸周りの回転のみを考えているので,慣性モーメントはスカラとして現れたが,一般には,$ J\in\mathbb{R}^{3\times 3}である.
並進運動との類似性
1次元の並進運動と回転運動はそれぞれ以下の式で表されることを思い出す.
並進運動
運動方程式: $ m\frac{\mathrm{d}^{2}x}{\mathrm{d}t^{2}}=F
運動量:$ p=mv
運動エネルギー: $ \frac{1}{2}mv^{2}
回転運動
運動方程式: $ J_{z}\frac{\mathrm{d}^{2}\theta}{\mathrm{d}t^{2}}=N
角運動量:$ L=J\omega
回転運動エネルギー: $ \frac{1}{2}J\omega^{2}
以上の式より,並進運動における位置$ xは回転運動における角度$ \thetaに対応し,並進外力$ Fは外力トルク$ Nに対応する.また,並進運動における動きにくさを表す質量$ mに対応する慣性モーメント$ Jは回転のしにくさを表す.