重心系における運動
重心系の運動
質量中心から見た系を重心系とここでは呼ぶ.運動量保存より,
$ m_{1}u_{1}'+m_{2}u_{2}'=m_{1}v_{1}'+m_{2}v_{2}'=0
となる.よって,質量中心からの相対速度ベクトルは互いに逆符号を取る.
次に力学的エネルギー保存式に
$ \bm{u}'_{2}=-\frac{m_{1}}{m_{2}}\bm{u}'_{2}
$ \bm{v}'_{2}=-\frac{m_{1}}{m_{2}}\bm{v}'_{2}
を代入すると,$ u_{1}'=v_{1}', u'_{2}=v'_{2}となる.つまり弾性衝突では,質量中心から見た速度は衝突前後で速度の大きさは変化しない.
衝突前の重心の速度は
$ \bm{v}_{G}=\frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}}\bm{u}_{1}
であるから,衝突前,質量中心から見た質点$ m_{1}の速度は
$ \bm{u_{1}}'=\bm{u}_{1}-\bm{v}_{G}=\frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\bm{u}_{1}
となる.一方,衝突後の速度は$ \bm{v}_{1}=\bm{v}_{G}+\bm{v}'_{1}である.
$ u_{1}'=v_{1}'かつ下図より,
$ \tan\theta_{1}=\frac{\sin{\theta_{1}'}}{\cos{\theta_{1}'}+\frac{m_{1}}{m_{2}}}
である.
https://gyazo.com/a6768f9ac17e1959a7339592d9ee348b
衝突後の質点$ m_{2}の速度を重心の速度と$ \bm{u}_{1}を用いると,
$ \bm{u}'_{2}=-\bm{v}_{G}=-\frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}}\bm{u}_{1}
である.また,$ v'_{2}=u'_{2}=v_{G}である.よって$ \theta'_{2}=2\theta_{2}となる.
https://gyazo.com/56be882a0c98d5cc2a9f56471a72b74c
$ m_{1}<m_{2}の場合
$ v_{G}< v'_{1}なので,点$ Oは円の内部に存在.
$ m_{1}>m_{2}の場合
点$ Oは円の外部に存在.
よって$ \theta_{1}に上限が存在することが幾何的にも確認される.
https://gyazo.com/84c33f8587176eca3a8d35db8b3ef1a1