質量中心
多質点系の質量中心を考える前に,まず2質点の1次元モデルで考える.
図のように,ある直線上に2つの質点が存在する.原点$ Oからの距離と質量をそれぞれ$ x_{1}, x_{2}と$ m_{1},m_{2}とする.このとき,これら2質点の質量中心の位置$ x_{G}は次式を満たす.
$ \left(x_{G}-x_{1}\right)m_{1}=\left(x_{2}-x_{G}\right)m_{2}
これを$ x_{G}について解くと,
$ x_{G}=\frac{m_{1}x_{1}+m_{2}x_{2}}{m_{1}+m_{2}}
となる.
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質量中心$ x_{G}からの相対距離を考え,$ x_{1}'=x_{1}-x_{G},$ x_{2}'=x_{2}-x_{G}とする.これを用いて上式を書き直すと,
$ x_{2}'m_{2}+x_{1}'m_{1} = 0
となる.つまり,質量中心からの相対距離と質量をかけ,足し合わせるとゼロになる点が質量中心である.数式で表すと,
$ \sum_{i}^{2}x_{i}'m_{i}=0
となる.
3次元空間に存在する$ N個の質点系の質量中心を考える.先ほどの1次元の場合と同様に,
$ \bm{r}_{G}=\frac{\sum_{i}^{N}\left(m_{i}\bm{r}_{i}\right)}{\sum_{i}^{N}m_{i}}=\frac{\sum_{i}^{N}\left(m_{i}\bm{r}_{i}\right)}{M}\in \mathbb{R}^{3}
となる.
並進運動
多質点系の並進運動を質量中心位置ベクトル$ \bm{r}_{G}を用いて表す.図のように,慣性系($ i系)と質量中心を原点に持つ座標系($ g系)を考える.$ i系で表した各質点の位置ベクトルを$ \bm{r}_{i},$ g系で表した位置ベクトルを$ \bm{r}_{i}'とする.つまり,$ i系における$ \bm{r}_{G}を用いると
$ \bm{r}_{i}=\bm{r}_{G}+\bm{r}'_{i} (1)
となる.紛らわしいが,ここの下付き添え字の$ iは$ i番目の質点の意味である.さらに,慣性系に対する時間微分をすると
$ \bm{v}_{i}=\bm{v}_{G}+\bm{v}'_{i} (2)
したがって,系全体の運動量は
$ \bm{p}=\sum_{i}^{N}m_{i}\bm{v}_{i} = M\bm{v}_{G}
となる.ここで $ \sum \bm{x}'_i m_i=0を用いた.運動方程式は時間微分することで次式となる.
$ \frac{\mathrm{d}\bm{p}}{\mathrm{d}t}=M\frac{\mathrm{d}^{2}\bm{r}_{G}}{\mathrm{d}t^{2}}=\sum_{i}^{N}\bm{f}_{i}
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回転運動
同様に,系全体の角運動量$ \bm{h}は
$ \bm{h}=\sum_{i}^{N}m_{i}\left(\bm{r}_{i}\times \bm{v}_{i}\right)
であるため,式(1)と(2)を用いることで,
$ \bm{h}=\sum_{i}^{N}m_{i}\left(\bm{r}_{G}+\bm{r}'_{i}\right) \times \left(\bm{v}_{G}\times \bm{v}'_{i}\right) =M\bm{r}_{G}\times \bm{v}_{G}+\bm{h}'
となる.ここで,$ \bm{h}' は$ g系原点周りの角運動量である.角運動量を時間微分することで
$ \frac{\mathrm{d}\bm{h}}{\mathrm{d}t}=M\bm{r}_{G}\times \frac{\mathrm{d}\bm{v}_{G}}{\mathrm{d}t}+\frac{\mathrm{d}\bm{h}'}{\mathrm{d}t}
となる.右辺第1項は質量中心に全質量が集まったと見なした際の角運動量であり,第2項は質量中心周りの角運動量である.このように,全質量が質量中心にあると見なした角運動量と質量中心周りの角運動量に分離される.