球の体積
例題: 球の体積
球座標系を用いて,図のような半径$ a の球の体積を求めよ. https://gyazo.com/2e2bd72fb6ccde7bf255c42f2ca72767
球座標系における微小体積$ dVは次式で表される.
$ dV = r^{2}\sin{\theta}drd\theta d\phi
この微小体積を$ r, \theta, \phi に関して積分すれば体積が得られる.
$ V =\int dV = \iiint r^{2}\sin{\theta}drd\theta d\phi = \int_{0}^{a}r^{2}dr \int_{0}^{\pi}\sin{\theta}d\theta \int_{0}^{2\pi}d\phi
$ =\frac{4}{3}\pi a^{3}