球からの引力
球からの万有引力ポテンシャル考える.
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半径$ a,密度$ \rhoとして,球の中心を原点とする.点$ Pと$ P'の相対距離は
$ \|\bm{r}-\bm{r}\|^{2}=r^{2}+r'^{2}-2rr'\cos{\theta}'
である.ポテンシャルは,
$ U =-Gm\iint\frac{\rho dV'}{\|\bm{r}-\bm{r}'\|} = -Gm\rho\int_{0}^{a}dr'\int_{0}^{\pi}d\theta'\int_{0}^{2\pi}d\phi'\frac{r'^{2}\sin{\theta'}}{\sqrt{r^{2}+r'^{2}-2rr'\cos{\theta'}}}
$ =-GM\rho\frac{2\pi}{r}\int_{0}^{a}r'\left(r+r'-|r-r'|\right)dr'
となる.
点Pが外部にあるとき$ r>r'
$ U=-Gm\frac{2\pi}{r}\int_{0}^{a}r'2r'dr' = -Gm\rho\frac{2\pi}{r}\frac{2}{3}a^{3}
全質量$ M=\frac{4}{3}\pi\rho a^{3}なので,
$ U =-G\frac{mM}{r}
となる.
点Pが内部にあるとき$ r<r'
$ U=-Gm\rho \frac{2\pi}{r}\int_{0}^{a}r'2r'dr'
$ U =-\frac{3}{2}G\frac{mM}{a}\left(1-\frac{r^{2}}{3a^{2}}\right)