慣性モーメント
並進運動における質量に相当し,回転のしにくさを表す.
$ N個の多質点系を考える.$ i番目の質点の速度$ \bm{v}_{i}は
$ \bm{v}_{i} =\bm{\omega}\times \bm{r}_{i}
と表される.ここで$ \bm{\omega},\bm{r}_{i}\in \mathbb{R}^{3}は角速度ベクトルと位置ベクトルをそれぞれ表す.角運動量の定義より,
$ \bm{h}=\sum_{i}^{N}m_{i}\bm{r}_{i}\times \left(\bm{\omega}\times \bm{r}_{i}\right)=-\sum_{i}^{N}m_{i}\left(\bm{r}_{i}\times \bm{r}_{i}\right)\times \bm{\omega}=\sum_{i}^{N}m_{i}\left( \|\bm{r}_{i}\|^{2}I_{3}- \bm{r}_{i}\bm{r}_{i}^{T}\right)\bm{\omega}
となる.ここで$ \|\bm{r}_{i}\|, I_{3}はベクトルのノルムと$ 3 \times 3の単位行列をそれぞれ示す.最右辺の角速度ベクトル以外の項をまとめて,慣性テンソル$ J\in \mathbb{R}^{3\times 3}として
$ J =\sum_{i}^{N}m_{i}\left(\|\bm{r}_{i}\|^{2} I_{3}-\bm{r}_{i}\bm{r}_{i}^{T}\right) = \left[ \begin{array}{ccc}J_{xx}&J_{xy}&J_{xz}\\J_{yx}&J_{yy}&J_{yz}\\J_{zx}&J_{zy}&J_{zz}\end{array}\right]
と定義される.
具体的に例えば,$ J_{yz}=J_{zy}=-\sum_{i}^{N}m_{i}y_{i}z_{i}である.したがって,慣性テンソルは対称行列である.対角項$ J_{xx},J_{yy},J_{zz}慣性モーメント,非対角項を慣性乗積と呼ぶ.
さらに,対称行列であるため,行列の対角化ができる.対角化後の慣性テンソルは
$ J_{p}=\left[ \begin{array}{ccc}J_{x}&0&0\\0&J_{y}&0\\0&0&J_{z}\end{array}\right]
となり,この対角項を主慣性モーメントと呼ぶ.