惑星の軌道運動
円錐曲線
原点に質量$ Mの太陽を存在するとし,その周りを太陽からの万有引力を受けながら運動する惑星を考える.エネルギー保存則より,
$ \frac{1}{2}m\dot{r}^{2}-G\frac{Mm}{r}+\frac{mh^{2}}{2r^{2}}=E
と表される.
$ \frac{dr}{dt}=\frac{d\theta}{dt}\frac{dr}{d\theta}=\frac{h}{r^{2}}\frac{dr}{d\theta}
を用いて,かつ$ u=\frac{1}{r}と置くと,$ du=-\frac{1}{r^{2}}drなので,
$ \left(\frac{du}{d\theta}\right)^{2}=\frac{2E}{mh^{2}}+2\frac{GM}{h^{2}}u-u^{2}
となる.さらに,
$ \left(\frac{du}{d\theta}\right)^{2}=A^{2}-\left(u-B\right)^{2}
とできる.ここで,
$ A^{2}=\frac{2E}{mh^{2}}+\left(\frac{GM}{h^{2}}\right)^{2}
$ B=\frac{GM}{h^{2}}
とおいた.変数分離し,積分すると,
$ u=A\cos{\left(\theta+\alpha\right)}+B
となる.つまり,
$ r=\frac{l}{1+e\cos{\left(\theta+\alpha\right)}}
である.ここで,$ l=1/B は半直弦, $ e=A/Bは離心率である.この曲線は円錐曲線と呼ばれ,離心率や力学的エネルギーの大きさによって形状が異なる.