多質点系
多質点系
$ N個の質点の運動を扱う.$ i番目の質点にかかる外力を$ \bm{f}_{i} \in \mathbb{R}^{3},$ i番目と$ k番目の質点間の内力を$ \bm{f}_{ik} \in \mathbb{R}^{3}と表す.この時,$ i番目の質点の運動方程式は,その運動量$ \bm{p}_{i}を用いて次式で表される. $ \frac{\mathrm{d}\bm{p}_{i}}{\mathrm{d}t}=\bm{f}_{i}+\sum_{k\neq i}^{}\bm{f}_{ik}
ここで,右辺第2項の$ k\neq iは$ i以外の全てを足し合わせることを意味する.系全体の運動量を$ \bm{P}とすると,系全体の運動は
$ \frac{\mathrm{d}\bm{P}}{\mathrm{d}t}=\sum_{i}^{N}\bm{f}_{i}+\sum_{i}^{N}\sum_{k\neq i}^{}\bm{f}_{ik}
となる.2つの質点間の内力は$ \bm{f}_{ik}=-\bm{f}_{ki}という関係があるため,右辺第2項は相殺されゼロになる.したがって,系全体の運動方程式は
$ \frac{\mathrm{d}\bm{P}}{\mathrm{d}t}=\sum_{i}^{N}\bm{f}_{i}
である.
角運動量
同様に,$ N個の質点がもつ系全体の角運動量$ \bm{L}は $ \bm{L}=\sum_{i}^{N}m_{i}\bm{r}_{i}\times \bm{v}_{i}
と表される.さらに時間微分し,
$ \frac{\mathrm{d}\bm{L}}{\mathrm{d}t}=\sum_{i}^{N}\bm{r}_{i}\times \frac{\mathrm{d}\bm{p}_{i}}{\mathrm{d}t}=\sum_{i}^{N}\bm{r}_{i}\times \bm{f}_{i}+\sum_{i}^{N}\sum_{k\neq i}^{}\bm{r}_{i}\times \bm{f}_{ik}
となる.内力の関係$ \bm{f}_{ik}=-\bm{f}_{ki}を用いると,
$ \bm{r}_{i}\times \bm{f}_{ik}+\bm{r}_{k}\times \bm{f}_{ki}=\left(\bm{r}_{i}-\bm{r}_{k}\right)\times \bm{f}_{ik}
であるため,
$ \frac{\mathrm{d}\bm{L}}{\mathrm{d}t}=\sum_{i}^{N}\bm{r}_{i}\times \bm{f}_{i}=\sum_{i}^{N}\bm{T}_{i}
となる.ここで,$ \bm{T}_{i}は$ i番目の質点に働く外力トルクである.