剛体の運動
剛体とは,力を与えても変形しないもの.つまり,物体の任意の2点間の距離が不変のものをいう. 位置の自由度は3であり,デカルト座標系で表すと$ (x,y,z)である.また,球座標系で表すと$ (r,\phi,\theta)であり,パラメータ(表現方法)を変えても自由度は変わらない. 同様に,回転の自由度も3であり,一般的には$ \phi,\theta,\psiという変数がよく用いられる.
拘束式があるとその(独立な)拘束式の数だけ自由度は減る.例えば
$ x^{2}+y^{2}+z^{2}=1
というひとつの拘束式があるとする.これは位置が半径1の球面上に拘束されることを物理的に意味する.このような拘束方程式があると,例えば
$ z=\pm \sqrt{1-x^{2}-y^{2}}
となり,この式を用いることで3つの変数$ (x,y,z)から$ zを消去することができる.つまり3つの自由度($ (x,y,z))があったものが$ (x,y)の2つに減少する.