中心力による運動
原点に十分質量の大きい質点$ P'があるとする.それに対して中心力$ \bm{f}が働く質点$ Pの運動を考える.
相対位置ベクトルを$ \bm{r}とする.中心力$ \bm{f}は$ \bm{r}と平行なので,
$ \bm{T}=\bm{r}\times \bm{f}=\bm{0}
となる.つまり,中心力によるトルク$ \bm{T}=0である.角運動量保存則より,
$ \frac{\mathrm{d}\bm{h}}{\mathrm{d}t}=\bm{0}
であり,かつ$ \bm{h} = \bm{r}\times m\bm{v}なので,
$ \bm{r},\bm{v}\perp \bm{h}
となる.つまり,中心力による運動は角運動量ベクトルに垂直な平面になる.
角運動量ベクトルに垂直な平面内の運動を極座標を用いて考える.中心力は半径方向の力なので,
$ m\left(\ddot{r}-r\dot{\theta}\right)=f (1)
$ \frac{m}{r}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(r^{2}\dot{\theta}\right)=0 (2)
となる.式(2)を積分すると
$ r^{2}\dot{\theta}=\bar{h}={\rm const.}
となる.この定数は単位質量あたりの角運動量である.これを式(1)に代入し,$ \dot{\theta}を消去すると,
$ m\ddot{r}-f-m\frac{h^{2}}{r^{3}}=0
$ \dot{r}をかけて積分すると,
$ \frac{1}{2}m\dot{r}^{2}+\frac{mh^{2}}{2r^{2}}+U(r)=E
となる.右辺は力学的エネルギーであり,左辺は運動エネルギー + ポテンシャルである.