並進座標系と回転座標系
並進座標系
図のように慣性系$ Sに対して,ある加速度を持って並進移動している座標系$ S'を考える.初期時刻$ t=0で原点が一致しているとする.このときある質点の位置ベクトル$ \bm{r}は
$ \bm{r}=\bm{r}_{0}+\bm{r}'
と表される.ここで$ \bm{r}_{0}, \bm{r}'はそれぞれ$ S'系の原点の位置ベクトルと$ S'系から見た位置ベクトルである.時間微分することで
$ \bm{v}=\bm{v}_{0}+\bm{v}'
$ \bm{a}=\bm{a}_{0}+\bm{a}'
となる.この質点に加わる外力は座標系によらず$ \bm{f}=\bm{f}'なので,
$ m\bm{a}'=\bm{f}'-m\bm{a}_{0}
となる.したがって,$ -m\bm{a}_{0}という見かけの力が働くことがわかる.これは座標系が並進移動している事による力である.
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回転座標系
図のようにあるベクトルが角速度ベクトル$ \bm{\omega}によって回転する状況を考える.幾何的に回転によるベクトル$ \bm{r}の大きさは
$ v=\omega r \sin{\theta} = \|\bm{\omega}\times \bm{r}\|
と表される.向きまで考慮することで,
$ \bm{v}=\bm{\omega}\times \bm{r}
となる.これは位置ベクトルに限らず,任意のベクトルが角速度によって時間変化する際に成り立つ関係式である.
ある慣性座標系における位置ベクトル$ \bm{r}=[x,y,z]^{T} の時間変化を考える.回転座標系$ S'の規定ベクトルを$ \bm{i}',\bm{j}',\bm{k}'とすると,
$ \bm{r} = \bm{r}' = x\bm{i}'+y\bm{j}'+z\bm{k}'
と表される.回転座標系の基底ベクトルも時間変化していることに注意すると,
$ \dot{\bm{r}}=\bm{v}= \dot{\bm{r}}'+x\dot{\bm{i}'}+y\dot{\bm{j}'}+z\dot{\bm{k}'}
となる.任意のベクトル$ \bm{a}の時間変化は $ \bm{\omega}\times \bm{a}だったので,この関係式を$ \dot{\bm{i}}'等に用いると,
$ \dot{\bm{r}}=\dot{\bm{r}}'+\bm{\omega}\times \bm{r}'
となる.
さらに時間微分することで,
$ \ddot{\bm{r}} = \ddot{\bm{r}}'+\frac{d}{dt}\left(\bm{\omega}\times \bm{r}'\right)+\bm{\omega}\times \left(\dot{\bm{r}}'+\bm{\omega}\times \bm{r}'\right)
$ = \bm{a}'+2\bm{\omega}\times \bm{v}'+\bm{\omega}\times \left(\bm{\omega}\times \bm{r}'\right)+\dot{\bm{\omega}}\times \bm{r}'
が得られる.よって,回転座標系における運動方程式は
$ m\bm{a}=\bm{f}-2m\bm{\omega}\times \bm{v}-m\bm{\omega}\times \left(\bm{\omega}\times \bm{r}\right)-m\dot{\bm{\omega}}\times \bm{r}
となる.右辺の第2項以降は,コリオリの力,遠心力,オイラー力と呼ばれる.
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