ポテンシャル
前半の講義で学んだポテンシャルを復習する.ひとつの質点が点1から点2に移動するとき,外力$ \bm{f}が質点にする仕事は
$ W_{12}=\int_{1}^{2}\bm{f}^{T}\mathrm{d}\bm{s}
と定義される.さらに,
$ \int_{1}^{2}\bm{f}^{T}\mathrm{d}\bm{s}=m\int_{1}^{2}\left(\frac{\mathrm{d}\bm{v}}{\mathrm{d}t}\right)^{T}\bm{v}\mathrm{d}t=\frac{m}{2}\int_{1}^{2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}v^{2}\mathrm{d}t
と変形できる.ここで,最右辺の$ vはスカラであることに注意.よって,
$ W_{12}=\frac{m}{2}\left(v_{2}^{2}-v_{1}^{2}\right)
となり,2点間の運動エネルギーの差に等しいことがわかる.
力が点1と2を結ぶ経路に依存せず,等しい$ W_{12}を与える時,その力$ \bm{f}は保存力と呼ばれる.
仕事$ W_{12} が経路に依存しないための必要十分条件は,$ \bm{f}がある位置のスカラ関数の勾配で与えられることである.つまり,
$ \bm{f}=-\nabla U(\bm{r})=\left[\begin{array}{c} \frac{\partial V}{\partial x}, \frac{\partial V}{\partial y}, \frac{\partial V}{\partial z}\end{array} \right]^{T}
ここで$ Uをポテンシャルと呼ぶ.