対称差 - Emile's note

対称差

定義

$ A \Delta Bとは、$ A,Bどちらか一方だけに含まれる要素からなる集合の事。

$ A\Delta B = (A-B) \cup (B-A) = (A \cap B^c) \cup (A^c \cap B) = (A \cup B) - (A \cap B)

性質 : アーベル群 + α

・$ (A \Delta B)\Delta C = A \Delta (B \Delta C) : 結合法則

・$ A \Delta B = B \Delta A : 交換法則

・$ A \Delta \phi = \phi \Delta A = A : 単位元の存在($ \phi)

・$ A \Delta A = \phi : 逆元の存在($ A^{-1} = A)

・$ A \cap (B \Delta C) = (A \cap B) \Delta (A \cap C) : 積についての分配法則

・$ A,\ B \subset X \ \Longrightarrow \ A \Delta B = (X-A)\Delta (X - B)

・$ A \Delta B = A^c \Delta B^c