位相空間 - Emile's note

位相空間

・定義 : 集合$ \mathbb{X}に対して, 集合族$ \mathcal{O} \subset 2^{\mathbb{X}}が以下の条件を満たす時,

組$ (\mathbb{X},\ \mathcal{O})を「$ \mathcal{O}を開集合系とする位相空間」と呼ぶ.

開集合系$ \mathcal{O}に属する集合を「開集合」と呼ぶ.

1. $ O_{\lambda} \in \mathcal{O}, \lambda \in \Lambda ($ \Lambdaは任意の添字集合) $ \Longrightarrow $ \bigcup_{\lambda \in \Lambda} O_{\lambda} \in \mathcal{O} : (無限含む)任意個の和も開集合

2. $ O_1, O_2 \in \mathcal{O} \Longrightarrow O_1 \cap O_2 \in \mathcal{O} : 有限の積は開集合

3. $ \mathbb{X},\ \phi \in \mathcal{O}

※ 開集合系$ \mathcal{O}は加算回の積と任意回(無限含む)の和について閉じている.