ラプラス変換 - Emile's note

ラプラス変換

順次追記予定

ラプラス変換

・定義 : 実数値及び複素数値関数$ f(t),\ \ (t \geq 0)に対して,

$ F(s) := \int_0^\infty f(t) e^{-st}dtによって定義される関数$ F(s)を$ f(t)のラプラス変換と言う.

(この積分がある$ sについて収束する時に限って定義される.)

※ $ F(s) = \mathcal{L}[f(t)] と表記する.

・性質

1. 線型性 : $ \mathcal{L}[a f_1(t) + bf_2(t)] = a\mathcal{L}[f_1(t)] + b\mathcal{L}[f_2(t)]

2. $ t 領域での微分 : $ \mathcal{L}[f^{(n)}(t)] = s^n F(s) - \sum_{i=0}^{n-1} s^{n-i+1}f^{(i)}(0)

3. $ t 領域での積分 : $ \mathcal{L}[\int_0^t f(\tau) d \tau] =\frac{1}{s}F(s)

4. 最終値の定理 : $ \lim_{t\rightarrow \infty}f(t)=\lim_{s\rightarrow 0}sF(s)

5. 初期値の定理 : $ \lim_{t\rightarrow +0}f(t) = \lim_{s\rightarrow \infty} sF(s)

6. $ s推移法則 : $ e^{-at}f(t) = F(s+a)

7. $ t推移法則 : $ f(t-a) = e^{-as}F(s)

ラプラス変換表

https://gyazo.com/4cd36fe91152258cb03e62ca939787a2