Z変換 - Emile's note

Z変換

Z変換 : ローラン展開から来てる

・定義 : $ \mathbb{Z}_{\geq 0} で定義された関数$ f(k) に対して, Z変換$ \mathcal{Z}[f](z) は$ \mathcal{Z}[f](z)=\sum_{k=0}^\infty f(k)z^{-k} と定義される.

・性質

1.線形性 : $ \mathcal{Z}[af+bg] = a\mathcal{Z}[f]+b\mathcal{Z}[g]

2.畳み込み : $ \mathcal{Z}[f*g](z)=\mathcal{Z}[f](z)\mathcal{Z}[g](z)

※ 離散畳み込み : $ (f*g)(k) = \sum_{\tau=0}^k f(k-\tau)g(k)=\sum_{\tau=0}^k f(\tau)g(k-\tau)

3.シフト性 : $ g(k)=f(k+m),\ \ \ m \in \mathbb{N}の時,

$ \mathcal{Z}[g](z)=z^m \mathcal{Z}[f](z)-z^mf(0) - z^{m-1}f(1)- ... -zf(m-1) が成立. : 最初の項の後ろに$ m個式が付く

4.下降$ m乗との関係性 (※ 下降$ m乗$ (k)_m = k(k-1)...k(k-m+1)の事.)

$ \mathcal{Z}[(k)_m](z)=\frac{m!z}{(z-1)^{m+1}} が成立.

※ 任意の$ m次多項式は$ (k)_0,\ (k)_1,...,\ (k)_mの線型結合で表せるので,

Z変換は$ zのプロパーな有理関数となり, その分母多項式は$ m+1次になる.

・逆変換 : $ F(z)=\mathcal{Z}[f](k),\ \ \ (|z|>\gamma) を満たす$ fを求める.

---> $ f(k) = \mathcal{Z}^{-1}[F](k) = \frac{1}{2\pi i}\oint_C F(z)z^{k-1}dz となる.

($ Cは$ z=0を含み, Z変換の収束域$ |z|>\gammaに含まれる閉路)

※ 普通は部分分数分解して, 表で逆変換する.

※ 留数定理でも計算出来なくはない

・変換表

https://gyazo.com/629233e58474d18d557d6db3e9385bfa